Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm $A(2; - 3; - 5),I(2;0; - 1)$ và mặt

Câu hỏi số 966705:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm $A(2; - 3; - 5),I(2;0; - 1)$ và mặt phẳng $(P):2x - y - 2z + 5 = 0$. Điểm $M(a;b;c)$ thuộc mặt phẳng $(P)$ thỏa mãn $MI = 5$ và độ dài đoạn AM lớn nhất. Tính giá trị của biểu thức $T = a + b + 2c$.

Đáp án:

Đáp án đúng là: 11

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:966705

Phương pháp giải

Vì MI = 5 nên điểm M thuộc mặt cầu tâm I, bán kính $R = 5$.

M lại thuộc mặt phẳng (P) nên M nằm trên đường tròn giao tuyến (C) của mặt cầu và mặt phẳng (P).

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (P), H là tâm của đường tròn (C).

Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (P).

Áp dụng định lý Pythagore ta có $AM^{2} = AK^{2} + KM^{2}$.

Do A và mặt phẳng (P) cố định nên độ dài đoạn AK không đổi.

Vậy AM lớn nhất khi và chỉ khi đoạn thẳng KM lớn nhất.

Xác định vị trí điểm K so với đường tròn (C) để lập luận tìm vị trí của M trên (C) sao cho KM lớn nhất.

Giải chi tiết

Gọi (S) là mặt cầu tâm $I(2;0; - 1)$, bán kính $R = 5$.

Vì $MI = 5$ nên $M \in (S)$.

Lại có $M \in (P)$ nên M thuộc đường tròn (C) là giao tuyến của (S) và (P).

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên (P).

Đường thẳng IH đi qua $I(2;0; - 1)$ và nhận vectơ pháp tuyến của $(P)$ là ${\overset{\rightarrow}{n}}_{P} = (2; - 1; - 2)$ làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số: $\left\{ \begin{array}{l} {x = 2 + 2t} \\ {y = - t} \\ {z = - 1 - 2t} \end{array} \right.$

Thay tọa độ này vào phương trình mặt phẳng $(P)$ ta được:

$\left. 2(2 + 2t) - ( - t) - 2( - 1 - 2t) + 5 = 0\Leftrightarrow 9t + 11 = 0\Leftrightarrow t = - \dfrac{11}{9} \right.$

Suy ra tọa độ điểm $H\left( {- \dfrac{4}{9};\dfrac{11}{9};\dfrac{13}{9}} \right)$.

Bán kính đường tròn giao tuyến $(C)$ là $r = \sqrt{R^{2} - IH^{2}} = \sqrt{5^{2} - \left( \dfrac{11}{3} \right)^{2}} = \dfrac{2\sqrt{26}}{3}$.

Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (P).

Đường thẳng AK đi qua $A(2; - 3; - 5)$ và có vectơ chỉ phương ${\overset{\rightarrow}{n}}_{P} = (2; - 1; - 2)$ nên có phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} {x = 2 + 2u} \\ {y = - 3 - u} \\ {z = - 5 - 2u} \end{array} \right.$

Thay vào phương trình mặt phẳng $(P)$ ta được:

$\left. 2(2 + 2u) - ( - 3 - u) - 2( - 5 - 2u) + 5 = 0\Leftrightarrow 9u + 22 = 0\Leftrightarrow u = - \dfrac{22}{9} \right.$

Suy ra tọa độ điểm $K\left( {- \dfrac{26}{9}; - \dfrac{5}{9}; - \dfrac{1}{9}} \right)$.

Ta có tam giác AKM vuông tại K (do $AK\bot(P)$ và $M \in (P)$), suy ra $AM^{2} = AK^{2} + KM^{2}$.

Vì AK có độ dài không đổi, nên AM đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi KM lớn nhất.

Ta tính khoảng cách từ K đến tâm H của đường tròn $(C)$:

$\left. \overset{\rightarrow}{HK} = \left( {- \dfrac{22}{9}; - \dfrac{16}{9}; - \dfrac{14}{9}} \right)\Rightarrow HK = \sqrt{\left( {- \dfrac{22}{9}} \right)^{2} + \left( {- \dfrac{16}{9}} \right)^{2} + \left( {- \dfrac{14}{9}} \right)^{2}} = \dfrac{2\sqrt{26}}{3} \right.$

Nhận thấy $HK = r$, điều này chứng tỏ điểm K nằm ngay trên đường tròn (C).

Do K và M đều nằm trên đường tròn (C) nên KM là một dây cung của đường tròn này.

Đoạn thẳng KM đạt độ dài lớn nhất (bằng đường kính 2r) khi và chỉ khi KM đi qua tâm H, tức là H là trung điểm của đoạn thẳng KM.

Khi đó, tọa độ điểm M được xác định:

$\left\{ \begin{array}{l} {x_{M} = 2x_{H} - x_{K} = 2\left( {- \dfrac{4}{9}} \right) - \left( {- \dfrac{26}{9}} \right) = 2} \\ {y_{M} = 2y_{H} - y_{K} = 2\left( \dfrac{11}{9} \right) - \left( {- \dfrac{5}{9}} \right) = 3} \\ {z_{M} = 2z_{H} - z_{K} = 2\left( \dfrac{13}{9} \right) - \left( {- \dfrac{1}{9}} \right) = 3} \end{array} \right.$

Vậy $M(2;3;3)$, đối chiếu với giả thiết $M(a;b;c)$ suy ra $a = 2,b = 3,c = 3$.

Giá trị của biểu thức $T = a + b + 2c = 2 + 3 + 2(3) = 11$.

Đáp án cần điền là: 11

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.