Cho biết $\lim\limits_{x\rightarrow - \infty}\left( {\sqrt{9x^{2} + ax + b} + 3x} \right) = - 2$. Mệnh đề nào

Câu hỏi số 968431:

Vận dụng

Cho biết $\lim\limits_{x\rightarrow - \infty}\left( {\sqrt{9x^{2} + ax + b} + 3x} \right) = - 2$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. $a \in \lbrack 6;8)$.

B. $a \in \lbrack 8;10)$.

C. $a \in \lbrack 10;12)$.

D. $a \in \lbrack 12;14)$.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:968431

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp để khử dạng vô định $\infty - \infty$ của giới hạn hàm số khi $\left. x\rightarrow - \infty \right.$, sau đó tính giới hạn và giải phương trình tìm $a$.

Giải chi tiết

Ta có: $\lim\limits_{x\rightarrow - \infty}\left( {\sqrt{9x^{2} + ax + b} + 3x} \right)$

$= \lim\limits_{x\rightarrow - \infty}\dfrac{{(\sqrt{9x^{2} + ax + b})}^{2} - {(3x)}^{2}}{\sqrt{9x^{2} + ax + b} - 3x}$

$= \lim\limits_{x\rightarrow - \infty}\dfrac{9x^{2} + ax + b - 9x^{2}}{\sqrt{9x^{2} + ax + b} - 3x}$

$= \lim\limits_{x\rightarrow - \infty}\dfrac{ax + b}{|x|\sqrt{9 + \dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{x^{2}}} - 3x}$

Do $\left. x\rightarrow - \infty \right.$ nên $|x| = - x$, ta được:

$= \lim\limits_{x\rightarrow - \infty}\dfrac{x(a + \dfrac{b}{x})}{- x\sqrt{9 + \dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{x^{2}}} - 3x}$

$= \lim\limits_{x\rightarrow - \infty}\dfrac{x(a + \dfrac{b}{x})}{- x\left( {\sqrt{9 + \dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{x^{2}}} + 3} \right)}$

$= \lim\limits_{x\rightarrow - \infty}\dfrac{a + \dfrac{b}{x}}{- \left( {\sqrt{9 + \dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{x^{2}}} + 3} \right)}$

$= \dfrac{a}{- (\sqrt{9} + 3)} = \dfrac{a}{- 6}$

Theo giả thiết, giới hạn bằng $- 2$ nên ta có: $\left. \dfrac{a}{- 6} = - 2\Leftrightarrow a = 12 \right.$.

Ta thấy $a = 12 \in \lbrack 12;14)$.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.