Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta:\dfrac{x}{2} = \dfrac{y - 1}{1} = \dfrac{z}{2}$ và điểm

Câu hỏi số 968451:

Vận dụng

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta:\dfrac{x}{2} = \dfrac{y - 1}{1} = \dfrac{z}{2}$ và điểm $A(4;5;4)$. Những phương án nào dưới đây đúng?

A. $A(4;5;4) \in \Delta$.

B. Phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa $\Delta$ và vuông góc với mặt phẳng $(Oxy)$ là $x - 2y + 2 = 0$.

C. Đường thẳng $d$ qua $A$, vuông góc với $\Delta$ và cắt trục Ox có một vectơ chỉ phương là $\overset{\rightarrow}{u} = (a;b;1)$, khi đó $a + b = 6$.

D. Gọi $M$ là điểm nằm trên trục hoành sao cho khoảng cách từ $M$ đến $\Delta$ bằng OM. Tổng các giá trị hoành độ điểm $M$ thỏa yêu cầu bài toán là 1.

Đáp án đúng là: B; D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:968451

Phương pháp giải

Sử dụng các công thức hình học giải tích trong không gian: kiểm tra điểm thuộc đường thẳng, viết phương trình mặt phẳng, tìm vectơ chỉ phương và tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.

Giải chi tiết

1 Sai. Thay tọa độ $A$ vào $\Delta$: $\dfrac{4}{2} \neq \dfrac{5 - 1}{1}$.

2 Đúng. $\Delta$ đi qua $M_{0}(0;1;0)$ và có VTCP $\overset{\rightarrow}{u_{\Delta}} = (2;1;2)$.

Mặt phẳng $(Oxy)$ có VTPT $\overset{\rightarrow}{k} = (0;0;1)$.

Mặt phẳng $(P)$ chứa $\Delta$ và vuông góc $(Oxy)$ có VTPT $\overset{\rightarrow}{n} = \lbrack\overset{\rightarrow}{u_{\Delta}},\overset{\rightarrow}{k}\rbrack = (1; - 2;0)$.

Phương trình $(P)$: $\left. 1(x - 0) - 2(y - 1) + 0(z - 0) = 0\Leftrightarrow x - 2y + 2 = 0 \right.$.

3 Sai. Giả sử $d$ cắt Ox tại $B(t;0;0)$. VTCP của $d$ là $\overset{\rightarrow}{AB} = (t - 4; - 5; - 4)$.

Do $d\bot\Delta$ nên $\left. \overset{\rightarrow}{AB} \cdot \overset{\rightarrow}{u_{\Delta}} = 0\Leftrightarrow 2(t - 4) - 5 - 8 = 0\Leftrightarrow t = \dfrac{21}{2} \right.$.

Ta có $\overset{\rightarrow}{AB} = (\dfrac{13}{2}; - 5; - 4) = - 4( - \dfrac{13}{8};\dfrac{5}{4};1)$.

Vậy $\left. \overset{\rightarrow}{u} = ( - \dfrac{13}{8};\dfrac{5}{4};1)\Rightarrow a = - \dfrac{13}{8},b = \dfrac{5}{4}\Rightarrow a + b = - \dfrac{3}{8} \neq 6 \right.$.

4 Đúng. $\left. M \in Ox\Rightarrow M(m;0;0) \right.$.

Ta có $\left. \overset{\rightarrow}{M_{0}M} = (m; - 1;0)\Rightarrow\lbrack\overset{\rightarrow}{M_{0}M},\overset{\rightarrow}{u_{\Delta}}\rbrack = ( - 2; - 2m;m + 2) \right.$.

Khoảng cách $d(M,\Delta) = \dfrac{\left| \lbrack\overset{\rightarrow}{M_{0}M},\overset{\rightarrow}{u_{\Delta}}\rbrack \right|}{\left| \overset{\rightarrow}{u_{\Delta}} \right|} = \dfrac{\sqrt{4 + 4m^{2} + {(m + 2)}^{2}}}{3} = \dfrac{\sqrt{5m^{2} + 4m + 8}}{3}$.

$\begin{array}{l} {d(M,\Delta) = OM} \\ \left. \Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{5m^{2} + 4m + 8}}{3} = |m| \right. \\ \left. \Leftrightarrow 5m^{2} + 4m + 8 = 9m^{2} \right. \\ \left. \Leftrightarrow 4m^{2} - 4m - 8 = 0 \right. \end{array}$

$\left. \Leftrightarrow m = - 1 \right.$ hoặc $m = 2$. Tổng hoành độ là 1.

Đáp án cần chọn là: B; D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.