Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi tâm $O$ có diện tích bằng $2a^{2}\sqrt{3}$,
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi tâm $O$ có diện tích bằng $2a^{2}\sqrt{3}$, $\widehat{ABC} = 60^{{^\circ}}$. Hình chiếu của A' trên $(ABCD)$ trùng với trung điểm $H$ của OC. Biết $A'H = \dfrac{3a}{2}$. Những phương án nào dưới đây đúng?
Đáp án đúng là: B; C; E
Quảng cáo
Tính toán các yếu tố của khối hộp dựa vào đáy là hình thoi. Gắn hệ trục tọa độ Oxyz để giải quyết các bài toán về góc và khoảng cách trong không gian.
Đáy là hình thoi có $\left. \widehat{ABC} = 60^{{^\circ}}\Rightarrow\Delta ABC \right.$ đều.
Đặt cạnh hình thoi là $x$, diện tích $\left. S = 2 \cdot \dfrac{x^{2}\sqrt{3}}{4} = \dfrac{x^{2}\sqrt{3}}{2} = 2a^{2}\sqrt{3}\Rightarrow x = 2a \right.$.
Suy ra $OA = OC = a$, $OB = OD = a\sqrt{3}$.
$H$ là trung điểm $\left. OC\Rightarrow OH = \dfrac{a}{2} \right.$.
1 Sai. Thể tích $V = S_{ABCD} \cdot A'H = 2a^{2}\sqrt{3} \cdot \dfrac{3a}{2} = 3a^{3}\sqrt{3}$.
2 Đúng. Góc giữa BB' và đáy bằng góc giữa AA' và đáy, là $\widehat{A^{\prime}AH}$.
$AH = AO + OH = a + \dfrac{a}{2} = \dfrac{3a}{2}$. $\left. \tan\widehat{A^{\prime}AH} = \dfrac{A'H}{AH} = 1\Rightarrow\widehat{A^{\prime}AH} = 45^{{^\circ}} \right.$.
3 Đúng. Gắn hệ trục Oxyz, tia Ox chứa OC, tia Oy chứa OB, tia Oz hướng lên.
Ta có $C(a;0;0),D(0; - a\sqrt{3};0),A( - a;0;0)$.
$\left. A'(\dfrac{a}{2};0;\dfrac{3a}{2})\Rightarrow\overset{\rightarrow}{AA^{\prime}} = (\dfrac{3a}{2};0;\dfrac{3a}{2}) \right.$. $C' = C + \overset{\rightarrow}{AA^{\prime}} = (\dfrac{5a}{2};0;\dfrac{3a}{2})$.
Mặt phẳng đáy có VTPT $\overset{\rightarrow}{k} = (0;0;1)$.
Mặt phẳng $(C'CD)$ có cặp VTCP là $\overset{\rightarrow}{CD}$ và $\overset{\rightarrow}{CC^{\prime}}$, tính được VTPT $\overset{\rightarrow}{n} = ( - \sqrt{3};1;\sqrt{3})$.
Góc nhọn giữa hai mặt phẳng có $\cos\alpha = \sqrt{\dfrac{3}{7}} \approx 0.654$.
Dựa vào vị trí hình chiếu, góc phẳng nhị diện là góc tù, xấp xỉ $180^{{^\circ}} - 49.1^{{^\circ}} = 130.9^{{^\circ}} > 130^{{^\circ}}$.
4 Sai. $\overset{\rightarrow}{BD^{\prime}} = \overset{\rightarrow}{AD} + \overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{AA^{\prime}} = (\dfrac{3a}{2}; - 2a\sqrt{3};\dfrac{3a}{2})$.
Tham số hóa $M \in AC$ và $N \in DC'$.
Từ điều kiện $MN \parallel BD'$, tìm được $MN = \dfrac{1}{3}BD' = \dfrac{a\sqrt{66}}{6}$.
5 Đúng. Khoảng cách giữa AB và C'D bằng $d(A,(C'CD))$.
Phương trình mặt phẳng $(C'CD)$ là $- \sqrt{3}x + y + \sqrt{3}z + a\sqrt{3} = 0$.
$d(A,(C'CD)) = \dfrac{\left| - \sqrt{3}( - a) + a\sqrt{3} \right|}{\sqrt{3 + 1 + 3}} = \dfrac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \dfrac{2a\sqrt{21}}{7}$.
Đáp án cần chọn là: B; C; E
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
