Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A(0;2;2)$, $B(1;2;4)$ và mặt phẳng $(P):x - 2y - 2z - 1 = 0$. Gọi

Câu hỏi số 968469:

Vận dụng

Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A(0;2;2)$, $B(1;2;4)$ và mặt phẳng $(P):x - 2y - 2z - 1 = 0$. Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng qua A và vuông góc với (P) sao cho khoảng cách từ B đến $(\alpha)$ bằng $\sqrt{2}$. Biết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ có dạng $ax + by + cz + d = 0$, trong đó $a,b,c \in {\mathbb{N}}^{*}$ và $a \leq 7$. Tính giá trị biểu thức $T = a + b + c$.

Đáp án:

Đáp án đúng là: 6

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:968469

Phương pháp giải

Sử dụng các điều kiện mặt phẳng đi qua một điểm, vuông góc với mặt phẳng khác và công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để lập hệ phương trình tìm hệ số.

Giải chi tiết

Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến ${\overset{\rightarrow}{n}}_{P} = (1; - 2; - 2)$.

Mặt phẳng $(\alpha)$ có vectơ pháp tuyến ${\overset{\rightarrow}{n}}_{\alpha} = (a;b;c)$.

Vì $(\alpha)$ đi qua $A(0;2;2)$ nên $\left. a(0) + b(2) + c(2) + d = 0\Rightarrow d = - 2b - 2c \right.$.

Vì $(\alpha)\bot(P)$ nên $\left. {\overset{\rightarrow}{n}}_{\alpha} \cdot {\overset{\rightarrow}{n}}_{P} = 0\Rightarrow a - 2b - 2c = 0\Rightarrow a = 2b + 2c \right.$.

Khoảng cách từ $B(1;2;4)$ đến $(\alpha)$ bằng $\sqrt{2}$:

$d(B,(\alpha)) = \dfrac{\left| {a.1 + b.2 + c.4 + d} \right|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = \dfrac{\left| {a + 2c} \right|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = \sqrt{2}$.

Thay $a = 2b + 2c$ vào ta được:

$\left. \dfrac{\left| {2b + 2c + 2c} \right|}{\sqrt{{(2b + 2c)}^{2} + b^{2} + c^{2}}} = \sqrt{2}\Rightarrow\dfrac{2\left| {b + 2c} \right|}{\sqrt{5b^{2} + 8bc + 5c^{2}}} = \sqrt{2} \right.$.

$4(b^{2} + 4bc + 4c^{2}) = 2(5b^{2} + 8bc + 5c^{2})$

$4b^{2} + 16bc + 16c^{2} = 10b^{2} + 16bc + 10c^{2}$

$\left. 6c^{2} = 6b^{2}\Rightarrow c^{2} = b^{2} \right.$.

Vì $a,b,c \in {\mathbb{N}}^{*}$ nên $c = b$.

Suy ra $a = 2b + 2b = 4b$.

Theo giả thiết $a \leq 7$ và $a \in {\mathbb{N}}^{*}$, ta có $4b \leq 7$.

Vì $b \in {\mathbb{N}}^{*}$ nên bắt buộc $b = 1$.

Khi đó $b = 1,c = 1,a = 4$.

Tính $T = a + b + c = 4 + 1 + 1 = 6$.

Đáp án cần điền là: 6

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.