Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a. Gọi $O$ là tâm của hình vuông
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a. Gọi $O$ là tâm của hình vuông ABCD. Biết các mặt bên của hình chóp đã cho là các tam giác đều, tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC.
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Để tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, ta dựng mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia để xác định đoạn vuông góc chung.
Sử dụng các tính chất của hình chóp tứ giác đều và định lý Pytago để tính toán.
Hình chóp S.ABCD là hình chóp tứ giác đều, $O$ là tâm đáy nên $SO\bot(ABCD)$.
Suy ra $SO\bot AC$.
Mặt đáy ABCD là hình vuông nên $AC\bot BD$.
Từ đó ta có $AC\bot(SBD)$.
Mặt phẳng $(SBD)$ chứa đường thẳng SD và vuông góc với AC tại $O$.
Trong mặt phẳng $(SBD)$, kẻ $OI\bot SD$ tại I.
Vì $AC\bot(SBD)$ nên $AC\bot OI$.
Do đó OI là đoạn vuông góc chung của AC và SD, suy ra $d(AC,SD) = OI$.
Xét đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, đường chéo $\left. BD = 2a\sqrt{2}\Rightarrow OD = \dfrac{1}{2}BD = a\sqrt{2} \right.$.
Các mặt bên là tam giác đều nên cạnh bên $SD = 2a$ (bằng với cạnh đáy).
Trong tam giác SOD vuông tại $O$, ta có:
$SO = \sqrt{SD^{2} - OD^{2}} = \sqrt{{(2a)}^{2} - {(a\sqrt{2})}^{2}} = \sqrt{4a^{2} - 2a^{2}} = a\sqrt{2}$.
Ta thấy $SO = OD = a\sqrt{2}$ nên tam giác SOD vuông cân tại $O$.
Khi đó, đường cao OI kẻ từ đỉnh góc vuông đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền SD.
$OI = \dfrac{1}{2}SD = \dfrac{1}{2}(2a) = a$.
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC bằng $a$.
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
