Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $A(2;2; - 3)$ và hai mặt phẳng $(P):2x + y - 2z = 0$,

Câu hỏi số 968776:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $A(2;2; - 3)$ và hai mặt phẳng $(P):2x + y - 2z = 0$, $(Q):2x - y + z = 0$. Những phương án nào dưới đây đúng?

A. Khoảng cách từ $A$ đến $(P)$ là 2.

B. Giao tuyến của $(P)$ và $(Q)$ là đường thẳng có phương trình $\dfrac{x}{1} = \dfrac{y}{6} = \dfrac{z - 1}{4}$.

C. Mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với cả $(P)$ và $(Q)$ có phương trình là $x + 6y + 4z - 2 = 0$.

D. Cosin của góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ là $\dfrac{\sqrt{6}}{6}$.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:968776

Phương pháp giải

Sử dụng các công thức hình học không gian Oxyz:

- Khoảng cách từ điểm $M(x_{0};y_{0};z_{0})$ đến mặt phẳng $(\alpha):Ax + By + Cz + D = 0$ là $d = \dfrac{\left| Ax_{0} + By_{0} + Cz_{0} + D \right|}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$.

- Vectơ chỉ phương của giao tuyến hai mặt phẳng là tích có hướng của hai vectơ pháp tuyến: $\overset{\rightarrow}{u} = \lbrack\overset{\rightarrow}{n_{P}},\overset{\rightarrow}{n_{Q}}\rbrack$.

- Mặt phẳng vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau sẽ nhận tích có hướng của hai vectơ pháp tuyến làm vectơ pháp tuyến của nó.

- Cosin góc giữa hai mặt phẳng: $\cos((P),(Q)) = \dfrac{\left| \overset{\rightarrow}{n_{P}} \cdot \overset{\rightarrow}{n_{Q}} \right|}{\left| \overset{\rightarrow}{n_{P}} \middle| \cdot \middle| \overset{\rightarrow}{n_{Q}} \right|}$.

Giải chi tiết

Hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overset{\rightarrow}{n_{P}} = (2;1; - 2)$ và $\overset{\rightarrow}{n_{Q}} = (2; - 1;1)$.

1 Sai. Khoảng cách từ $A(2;2; - 3)$ đến $(P)$ là

$d(A,(P)) = \dfrac{\left| 2(2) + 2 - 2( - 3) \right|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + {( - 2)}^{2}}} = \dfrac{|4 + 2 + 6|}{3} = \dfrac{12}{3} = 4$.

2 Sai. Vectơ chỉ phương của đường thẳng giao tuyến là $\overset{\rightarrow}{u} = \lbrack\overset{\rightarrow}{n_{P}},\overset{\rightarrow}{n_{Q}}\rbrack = ( - 1; - 6; - 4)$.

Có thể chọn vectơ chỉ phương là $(1;6;4)$.

Mặt khác, dễ thấy điểm gốc tọa độ $O(0;0;0)$ thỏa mãn phương trình của cả $(P)$ và $(Q)$ nên giao tuyến phải đi qua $O$.

Tuy nhiên, đường thẳng cho ở phương án b đi qua điểm $(0;0;1)$ (cho $x = 0,y = 0$ thì $z = 1$), điểm này không thuộc mặt phẳng $(P)$ vì $2(0) + 0 - 2(1) = - 2 \neq 0$.

Do đó đây không phải là đường thẳng giao tuyến.

3 Đúng. Mặt phẳng cần tìm đi qua $A(2;2; - 3)$ và có vectơ pháp tuyến $\overset{\rightarrow}{n} = (1;6;4)$.

Phương trình mặt phẳng là: $\left. 1(x - 2) + 6(y - 2) + 4(z + 3) = 0\Leftrightarrow x + 6y + 4z - 2 = 0 \right.$.

4 Sai. Cosin góc giữa hai mặt phẳng là $\cos((P),(Q)) = \dfrac{\left| 2(2) + 1( - 1) + ( - 2)(1) \right|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + {( - 2)}^{2}} \cdot \sqrt{2^{2} + {( - 1)}^{2} + 1^{2}}} = \dfrac{|4 - 1 - 2|}{3 \cdot \sqrt{6}} = \dfrac{1}{3\sqrt{6}} = \dfrac{\sqrt{6}}{18}$.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.