Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Một người nghệ sĩ đã vẽ hình chiếc nơ theo một cách khác lạ so với các nhà thiết kế. Anh

Một người nghệ sĩ đã vẽ hình chiếc nơ theo một cách khác lạ so với các nhà thiết kế. Anh ta vẽ hình chữ nhật ABCD tâm $O$ có chiều dài AB bằng 4 dm, chiều rộng AD bằng 2 dm. Chiếc nơ chính là hình giới hạn bởi đường cong $(H)$ nằm bên trong hình chữ nhật sao cho khi kẻ tia Ot bất kì cắt $(H)$ và cạnh hình chữ nhật lần lượt tại $M$ và $N$ thì $MN = 1dm$.

Trả lời cho các câu 1, 2 dưới đây:

Câu hỏi số 1:
Vận dụng

Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, AD. Gọi $(C)$ là tập hợp các điểm $M$ khi $N$ thuộc đoạn thẳng AE. Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho các tia Ox và Oy lần lượt đi qua $F$ và $E$. Phương trình đường cong $(C)$ là

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải
Câu hỏi:968785
Phương pháp giải

Gắn hệ trục tọa độ Oxy, xác định tọa độ các điểm tương ứng với kích thước hình chữ nhật.

Tham số hóa tọa độ điểm $N$ thuộc đoạn AE.

Sử dụng điều kiện M, N, O thẳng hàng và hệ thức độ dài $ON - OM = 1$ để tìm phương trình liên hệ giữa hoành độ và tung độ của điểm $M$.

Giải chi tiết

Gốc tọa độ là tâm $O(0,0)$ của hình chữ nhật.

Theo giả thiết, chiều dài $AB = 4$, chiều rộng $AD = 2$.

Khoảng cách từ tâm $O$ đến cạnh AD là $\dfrac{AB}{2} = 2$.

Vì tia Ox đi qua trung điểm $F$ của AD nên $F(2,0)$.

Khoảng cách từ tâm $O$ đến cạnh AB là $\dfrac{AD}{2} = 1$.

Vì tia Oy đi qua trung điểm $E$ của AB nên $E(0,1)$.

Suy ra đỉnh $A$ có tọa độ $(2,1)$.

Khi $N$ thuộc đoạn thẳng AE, tọa độ của điểm $N$ có dạng $(x_{0},1)$ với $x_{0} \in \lbrack 0,2\rbrack$.

Điểm $M(x,y)$ thuộc đường cong $(C)$, do $M$ nằm trên tia ON nên M, N, O thẳng hàng và $y > 0$. Ta có tỉ lệ: $\left. \dfrac{x}{x_{0}} = \dfrac{y}{1}\Rightarrow x_{0} = \dfrac{x}{y} \right.$.

Độ dài đoạn thẳng $ON = \sqrt{x_{0}^{2} + 1^{2}} = \sqrt{\dfrac{x^{2}}{y^{2}} + 1} = \dfrac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{y}$.

Độ dài đoạn thẳng $OM = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$.

Theo bài ra $\left. MN = 1\Rightarrow ON - OM = 1 \right.$.

Thay các biểu thức độ dài vào, ta được:

$\dfrac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{y} - \sqrt{x^{2} + y^{2}} = 1$

$\left. \Leftrightarrow\sqrt{x^{2} + y^{2}}\left( \dfrac{1 - y}{y} \right) = 1 \right.$

$\left. \Leftrightarrow\sqrt{x^{2} + y^{2}} = \dfrac{y}{1 - y} \right.$

$x^{2} + y^{2} = \dfrac{y^{2}}{{(1 - y)}^{2}}$

$\left. \Leftrightarrow x^{2} = \dfrac{y^{2}}{{(1 - y)}^{2}} - y^{2} = y^{2}\left\lbrack \dfrac{1 - (1 - 2y + y^{2})}{{(1 - y)}^{2}} \right\rbrack = y^{2}\dfrac{2y - y^{2}}{{(1 - y)}^{2}} \right.$

Vì $M$ thuộc góc phần tư thứ nhất nên $x \geq 0$, khai căn hai vế ta được $x = \dfrac{y\sqrt{2y - y^{2}}}{1 - y}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu hỏi số 2:
Vận dụng

Tính diện tích chiếc nơ hình $(H)$ đó theo $dm^{2}$ (kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn).

Đáp án đúng là: C

Xem lời giải
Câu hỏi:968786
Phương pháp giải

Do chiếc nơ có tính đối xứng qua các trục tọa độ Ox và Oy, ta tính diện tích phần chiếc nơ nằm ở góc phần tư thứ nhất (kí hiệu là $S_{1}$), sau đó nhân 4 để được tổng diện tích.

Sử dụng công thức tính diện tích hình phẳng trong hệ tọa độ cực: $S = \dfrac{1}{2}{\int r^{2}}d\theta$.

Giải chi tiết

Trong góc phần tư thứ nhất, đường viền của hình chữ nhật gồm hai đoạn: đoạn AE (nằm trên đường thẳng $y = 1$) và đoạn AF (nằm trên đường thẳng $x = 2$).

Gọi $\theta$ là góc tạo bởi tia ON và tia Ox.

Tại đỉnh $A(2,1)$, ta có $\left. \tan\theta = \dfrac{1}{2}\Rightarrow\theta = \alpha = \arctan\left( \dfrac{1}{2} \right) \right.$.

Trường hợp 1: Khi $\theta \in \lbrack 0,\alpha\rbrack$, tia ON cắt đoạn AF tại $N(2,2\tan\theta)$.

Ta có hoành độ $\left. x_{N} = 2\Rightarrow ON = \dfrac{2}{\cos\theta} \right.$.

Hàm số trong hệ tọa độ cực là $r(\theta) = OM = ON - 1 = \dfrac{2}{\cos\theta} - 1$.

Trường hợp 2: Khi $\theta \in \lbrack\alpha,\dfrac{\pi}{2}\rbrack$, tia ON cắt đoạn AE tại $N(\cot\theta,1)$.

Ta có tung độ $\left. y_{N} = 1\Rightarrow ON = \dfrac{1}{\sin\theta} \right.$.

Hàm số trong hệ tọa độ cực là $r(\theta) = OM = ON - 1 = \dfrac{1}{\sin\theta} - 1$.

Diện tích phần hình nơ ở góc phần tư thứ nhất là:

$S_{1} = \dfrac{1}{2}{\int_{0}^{\alpha}\left( {\dfrac{2}{\cos\theta} - 1} \right)^{2}}d\theta + \dfrac{1}{2}{\int_{\alpha}^{\dfrac{\pi}{2}}\left( {\dfrac{1}{\sin\theta} - 1} \right)^{2}}d\theta = 1,5176dm^{2}$.

Đáp án cần chọn là: C

Quảng cáo

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn

Khảo sát học từ vựng tiếng Anh

Chỉ mất 3 phút để chia sẻ trải nghiệm học từ vựng của bạn. Nhận quyền trải nghiệm ứng dụng miễn phí trước khi ra mắt.

Tham gia khảo sát →