Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Đặt $\overset{\rightarrow}{AA^{\prime}} =
Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Đặt $\overset{\rightarrow}{AA^{\prime}} = \overset{\rightarrow}{a},\overset{\rightarrow}{AB} = \overset{\rightarrow}{b},\overset{\rightarrow}{AC} = \overset{\rightarrow}{c}$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác ABB', $I$ là điểm thuộc cạnh CC' thỏa mãn $IC = 2IC'$. Biết $\overset{\rightarrow}{GI} = \dfrac{1}{3}(x\overset{\rightarrow}{a} + y\overset{\rightarrow}{b} + z\overset{\rightarrow}{c})$. Tính $x + 2y + 3z$.
Đáp án đúng là: 6
Quảng cáo
Chọn hệ cơ sở là ba véc-tơ không đồng phẳng $\overset{\rightarrow}{a},\overset{\rightarrow}{b},\overset{\rightarrow}{c}$. Biểu diễn véc-tơ $\overset{\rightarrow}{GI}$ qua hệ cơ sở đó bằng cách sử dụng quy tắc ba điểm, tính chất trọng tâm tam giác và tỉ lệ đoạn thẳng.
Vì $G$ là trọng tâm tam giác ABB' nên với điểm $A$ bất kỳ, ta có:
$\overset{\rightarrow}{AG} = \dfrac{1}{3}(\overset{\rightarrow}{AA} + \overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{AB^{\prime}})$
$\overset{\rightarrow}{AG} = \dfrac{1}{3}(\overset{\rightarrow}{0} + \overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{AA^{\prime}}) = \dfrac{1}{3}(2\overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{AA^{\prime}}) = \dfrac{1}{3}\overset{\rightarrow}{a} + \dfrac{2}{3}\overset{\rightarrow}{b}$
Điểm $I$ thuộc cạnh CC' và $IC = 2IC'$, suy ra $\overset{\rightarrow}{CI} = \dfrac{2}{3}\overset{\rightarrow}{CC^{\prime}}$.
Mà $\overset{\rightarrow}{CC^{\prime}} = \overset{\rightarrow}{AA^{\prime}} = \overset{\rightarrow}{a}$, do đó $\overset{\rightarrow}{CI} = \dfrac{2}{3}\overset{\rightarrow}{a}$.
Ta có: $\overset{\rightarrow}{AI} = \overset{\rightarrow}{AC} + \overset{\rightarrow}{CI} = \overset{\rightarrow}{c} + \dfrac{2}{3}\overset{\rightarrow}{a}$.
Suy ra véc-tơ $\overset{\rightarrow}{GI}$ được tính theo quy tắc hiệu:
$\overset{\rightarrow}{GI} = \overset{\rightarrow}{AI} - \overset{\rightarrow}{AG} = \left( {\dfrac{2}{3}\overset{\rightarrow}{a} + \overset{\rightarrow}{c}} \right) - \left( {\dfrac{1}{3}\overset{\rightarrow}{a} + \dfrac{2}{3}\overset{\rightarrow}{b}} \right) = \dfrac{1}{3}\overset{\rightarrow}{a} - \dfrac{2}{3}\overset{\rightarrow}{b} + \overset{\rightarrow}{c}$
$\overset{\rightarrow}{GI} = \dfrac{1}{3}(\overset{\rightarrow}{a} - 2\overset{\rightarrow}{b} + 3\overset{\rightarrow}{c})$
Đối chiếu với giả thiết $\overset{\rightarrow}{GI} = \dfrac{1}{3}(x\overset{\rightarrow}{a} + y\overset{\rightarrow}{b} + z\overset{\rightarrow}{c})$, ta suy ra $x = 1,y = - 2,z = 3$.
Giá trị của biểu thức là: $x + 2y + 3z = 1 + 2( - 2) + 3(3) = 1 - 4 + 9 = 6$.
Đáp án cần điền là: 6
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
