Cho hàm số $f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d}$. Hàm số $y = f'(x)$ có đồ thị $(C)$ như hình vẽ. Đường

Câu hỏi số 968790:

Vận dụng

Cho hàm số $f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d}$. Hàm số $y = f'(x)$ có đồ thị $(C)$ như hình vẽ. Đường thẳng $x = - 1$ là đường tiệm cận đứng của $(C)$. Biết giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn [0;2] bằng $- 2$. Tính $f( - 3)$. (nhập kết quả dưới dạng phân số)

Đáp án:

Đáp án đúng là: 5/2

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:968790

Phương pháp giải

- Dựa vào đường tiệm cận đứng của đồ thị $y = f'(x)$ để tìm mối liên hệ giữa $c$ và $d$.

- Dựa vào tọa độ giao điểm của đồ thị $y = f'(x)$ với trục tung để tìm phương trình liên hệ các hệ số.

- Xét dấu đạo hàm để tìm sự biến thiên, từ đó sử dụng dữ kiện giá trị nhỏ nhất trên đoạn để xác định hàm số $f(x)$.

Giải chi tiết

Tập xác định của hàm số $f(x)$ là $D = {\mathbb{R}}\backslash\left\{ {- \dfrac{d}{c}} \right\}$ (điều kiện $c \neq 0,ad - bc \neq 0$).

Ta có $f'(x) = \dfrac{ad - bc}{{(cx + d)}^{2}}$.

Đồ thị hàm số $y = f'(x)$ có đường tiệm cận đứng là $x = - 1$.

Do đó, nghiệm của mẫu số là $x = - 1$, suy ra $\left. - \dfrac{d}{c} = - 1\Rightarrow d = c \right.$.

Khi đó hàm số trở thành $f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + c}$ và $f'(x) = \dfrac{ac - bc}{c^{2}{(x + 1)}^{2}} = \dfrac{a - b}{c{(x + 1)}^{2}}$.

Quan sát đồ thị $(C)$, ta thấy đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $3$.

Do đó $\left. f'(0) = 3\Leftrightarrow\dfrac{a - b}{c} = 3\Rightarrow a - b = 3c\quad(1) \right.$.

Cũng từ đồ thị, ta thấy $f'(x) > 0$ với mọi $x \neq - 1$.

Suy ra hàm số $f(x)$ đồng biến trên từng khoảng $( - \infty; - 1)$ và $( - 1; + \infty)$.

Vì đoạn [0;2] nằm trọn trong khoảng $( - 1; + \infty)$, nên hàm số $f(x)$ đồng biến trên đoạn [0;2].

Do đó, $\min_{\lbrack 0;2\rbrack}f(x) = f(0) = \dfrac{b}{d} = \dfrac{b}{c}$.

Theo giả thiết, giá trị nhỏ nhất bằng $- 2$, nên ta có: $\left. \dfrac{b}{c} = - 2\Rightarrow b = - 2c\quad(2) \right.$.

Thay $(2)$ vào $(1)$, ta được: $\left. a - ( - 2c) = 3c\Rightarrow a + 2c = 3c\Rightarrow a = c \right.$.

Với $a = c,b = - 2c,d = c$, hàm số là $f(x) = \dfrac{cx - 2c}{cx + c} = \dfrac{c(x - 2)}{c(x + 1)} = \dfrac{x - 2}{x + 1}$ (vì $c \neq 0$).

Giá trị cần tìm là $f( - 3) = \dfrac{- 3 - 2}{- 3 + 1} = \dfrac{- 5}{- 2} = \dfrac{5}{2}$.

Đáp án cần điền là: 5/2

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.