Cho bất phương trình $2 + \log_{3}(x^{2} + 1) \geq \log_{3}(x^{2} - 2x + m)$ (*), với $m$ là tham số. Có bao

Câu hỏi số 968791:

Vận dụng

Cho bất phương trình $2 + \log_{3}(x^{2} + 1) \geq \log_{3}(x^{2} - 2x + m)$ (*), với $m$ là tham số. Có bao nhiêu số giá trị nguyên dương của tham số $m$ để bất phương trình (*) nghiệm đúng với mọi $x \in {\mathbb{R}}$?

Đáp án:

Đáp án đúng là: 7

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:968791

Phương pháp giải

Biến đổi bất phương trình về dạng $f(x) \geq g(x)$. Áp dụng điều kiện để một tam thức bậc hai luôn lớn hơn hoặc bằng không (hoặc lớn hơn không) với mọi $x \in {\mathbb{R}}.$

Giải chi tiết

Điều kiện xác định của bất phương trình là $x^{2} - 2x + m > 0$.

Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x \in {\mathbb{R}}$, thì trước hết điều kiện xác định phải đúng với mọi $x \in {\mathbb{R}}$:

$\left. x^{2} - 2x + m > 0,\forall x \in {\mathbb{R}}\Leftrightarrow\Delta' = 1 - m < 0\Leftrightarrow m > 1 \right.$.

$2 + \log_{3}(x^{2} + 1) \geq \log_{3}(x^{2} - 2x + m)$

$\left. \Leftrightarrow\log_{3}9 + \log_{3}(x^{2} + 1) \geq \log_{3}(x^{2} - 2x + m) \right.$

$\left. \Leftrightarrow\log_{3}(9x^{2} + 9) \geq \log_{3}(x^{2} - 2x + m) \right.$

Do cơ số $3 > 1$, hàm số logarit đồng biến nên bất phương trình tương đương với:

$9x^{2} + 9 \geq x^{2} - 2x + m,\forall x \in {\mathbb{R}}$

$\left. \Leftrightarrow 8x^{2} + 2x + (9 - m) \geq 0,\forall x \in {\mathbb{R}} \right.$.

Điều kiện để tam thức bậc hai này không âm với mọi $x$ là: $\left\{ \begin{array}{l} {a = 8 > 0\quad\text{(luôn~dúng)}} \\ {\Delta' \leq 0} \end{array} \right.$

Xét $\left. \Delta' \leq 0\Leftrightarrow 1^{2} - 8(9 - m) \leq 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow 1 - 72 + 8m \leq 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow 8m \leq 71\Leftrightarrow m \leq \dfrac{71}{8} = 8.875 \right.$.

Kết hợp với điều kiện $m > 1$, ta có $1 < m \leq 8.875$.

Vì $m$ là số nguyên dương nên $m \in \left\{ 2;3;4;5;6;7;8 \right\}$.

Vậy có $7$ giá trị nguyên dương của tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần điền là: 7

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.