Một chiến sĩ đặc công đang nấp ở bờ sông, cần phải bơi qua bờ bên kia để tấn công mục

Câu hỏi số 968792:

Vận dụng

Một chiến sĩ đặc công đang nấp ở bờ sông, cần phải bơi qua bờ bên kia để tấn công mục tiêu. Có thể xem con sông này là thẳng và có độ rộng 100 m; vận tốc bơi của chiến sĩ bằng một phần ba vận tốc chạy bộ. Biết rằng mục tiêu tấn công cách chiến sĩ 1 km theo đường chim bay; hỏi chiến sĩ phải bơi bao nhiêu mét để đến được mục tiêu nhanh nhất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Đáp án:

Đáp án đúng là: 106

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:968792

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp tọa độ hóa hoặc thiết lập hàm số thời gian theo biến khoảng cách. Áp dụng đạo hàm để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Giải chi tiết

Đổi $1km = 1000m$.

Giả sử bờ sông là hai đường thẳng song song.

Chiến sĩ xuất phát từ điểm $A$ trên bờ này, mục tiêu là điểm $B$ ở bờ kia.

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên bờ sông chứa $B$.

Ta có chiều rộng khúc sông là $AH = 100m$.

Khoảng cách từ $A$ đến $B$ là $AB = 1000m$.

Trong tam giác vuông AHB, độ dài hình chiếu của AB lên bờ sông là:

$HB = \sqrt{AB^{2} - AH^{2}} = \sqrt{1000^{2} - 100^{2}} = 100\sqrt{99}m$.

Giả sử chiến sĩ bơi từ $A$ đến điểm $M$ trên bờ sông chứa $B$, sau đó chạy bộ từ $M$ đến $B$.

Gọi khoảng cách $HM = x$ ($0 \leq x \leq 100\sqrt{99}$).

Quãng đường bơi là $AM = \sqrt{AH^{2} + HM^{2}} = \sqrt{100^{2} + x^{2}}$.

Quãng đường chạy bộ là $MB = HB - HM = 100\sqrt{99} - x$.

Gọi $v$ là vận tốc bơi của chiến sĩ ($v > 0$). Khi đó, vận tốc chạy bộ là 3v.

Thời gian để chiến sĩ đi từ $A$ đến $B$ là:

$t(x) = \dfrac{\sqrt{100^{2} + x^{2}}}{v} + \dfrac{100\sqrt{99} - x}{3v} = \dfrac{1}{v}\left( {\sqrt{100^{2} + x^{2}} - \dfrac{x}{3} + \dfrac{100\sqrt{99}}{3}} \right)$.

Để thời gian di chuyển là nhanh nhất thì hàm số $f(x) = \sqrt{100^{2} + x^{2}} - \dfrac{x}{3}$ đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn $\lbrack 0;100\sqrt{99}\rbrack$.

Đạo hàm: $f'(x) = \dfrac{x}{\sqrt{100^{2} + x^{2}}} - \dfrac{1}{3}$.

$\left. f'(x) = 0\Leftrightarrow 3x = \sqrt{100^{2} + x^{2}}\Leftrightarrow 9x^{2} = 10000 + x^{2}\Leftrightarrow 8x^{2} = 10000\Leftrightarrow x^{2} = 1250 \right.$.

Do $x > 0$ nên $x = \sqrt{1250} = 25\sqrt{2}$ (thỏa mãn điều kiện).

Khi đó, quãng đường bơi của chiến sĩ là:

$AM = \sqrt{100^{2} + {(25\sqrt{2})}^{2}} = \sqrt{10000 + 1250} = \sqrt{11250} = 75\sqrt{2} \approx 106,066m$.

Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, ta được 106 m.

Đáp án cần điền là: 106

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.