Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;2] thỏa mãn $(2x + 3)f'(x) + 2f(x) = 4x - 3x^{2}$

Câu hỏi số 968793:

Vận dụng

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;2] thỏa mãn $(2x + 3)f'(x) + 2f(x) = 4x - 3x^{2}$ và $f(0) = 3$. Tính giá trị của $f(2)$. (nhập kết quả dưới dạng phân số)

Đáp án:

Đáp án đúng là: 9/7

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:968793

Phương pháp giải

Nhận dạng đạo hàm của một tích: $(u.v)' = u'v + uv'$.

Biến đổi phương trình vi phân về dạng đạo hàm đúng, sau đó lấy tích phân hai vế để tìm hàm số $f(x)$.

Giải chi tiết

Ta có: $(2x + 3)f'(x) + 2f(x) = 4x - 3x^{2}$

$\left. \Leftrightarrow(2x + 3)f'(x) + {(2x + 3)}'f(x) = 4x - 3x^{2} \right.$

$\left. \Leftrightarrow{\lbrack(2x + 3)f(x)\rbrack}' = 4x - 3x^{2} \right.$

Lấy nguyên hàm hai vế, ta được:

$(2x + 3)f(x) = {\int{(4x - 3x^{2})}}dx$

$\left. \Leftrightarrow(2x + 3)f(x) = 2x^{2} - x^{3} + C \right.$

Theo giả thiết $f(0) = 3$, thay $x = 0$ vào ta có:

$\left. (2.0 + 3)f(0) = 2.0^{2} - 0^{3} + C\Leftrightarrow 3.3 = C\Leftrightarrow C = 9 \right.$.

Suy ra: $(2x + 3)f(x) = - x^{3} + 2x^{2} + 9$.

Thay $x = 2$ vào biểu thức trên để tính $f(2)$:

$(2.2 + 3)f(2) = - 2^{3} + 2.2^{2} + 9$

$\left. \Leftrightarrow 7f(2) = - 8 + 8 + 9 \right.$

$\left. \Leftrightarrow 7f(2) = 9\Leftrightarrow f(2) = \dfrac{9}{7} \right.$.

Đáp án cần điền là: 9/7

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.