Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A(0;0; - 3),B(2;0; - 1)$ và mặt phẳng $(P):3x - 8y

Câu hỏi số 968794:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A(0;0; - 3),B(2;0; - 1)$ và mặt phẳng $(P):3x - 8y + 7z - 1 = 0$. Điểm $C(a;b;c)$ là điểm nằm trên mặt phẳng $(P)$, có hoành độ dương thỏa mãn tam giác ABC đều. Tính $a - b + 3c$.

Đáp án:

Đáp án đúng là: -5

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:968794

Phương pháp giải

Tính độ dài đoạn AB. Sử dụng tính chất tam giác đều để lập hệ phương trình: $C$ thuộc $(P)$ và $AC = BC = AB$. Giải hệ phương trình tìm tọa độ điểm $C$ và tính giá trị biểu thức.

Giải chi tiết

Ta có $\left. \overset{\rightarrow}{AB} = (2;0;2)\Rightarrow AB = \sqrt{2^{2} + 0^{2} + 2^{2}} = 2\sqrt{2} \right.$.

Vì tam giác ABC đều nên $AC = BC = AB = 2\sqrt{2}$. Do đó $AC^{2} = 8$ và $BC^{2} = 8$.

Điểm $C(a;b;c)$ nằm trên mặt phẳng $(P)$ nên $3a - 8b + 7c - 1 = 0$ (1).

Ta có hệ phương trình:$\left\{ \begin{array}{l} {a^{2} + b^{2} + {(c + 3)}^{2} = 8} \\ {{(a - 2)}^{2} + b^{2} + {(c + 1)}^{2} = 8} \end{array} \right.$

Trừ vế theo vế hai phương trình, ta được:

$a^{2} - {(a - 2)}^{2} + {(c + 3)}^{2} - {(c + 1)}^{2} = 0$

$\left. \Leftrightarrow 4a - 4 + 4c + 8 = 0\Leftrightarrow 4a + 4c + 4 = 0\Leftrightarrow c = - a - 1 \right.$.

Thế $c = - a - 1$ vào (1), ta được:

$\left. 3a - 8b + 7( - a - 1) - 1 = 0\Leftrightarrow - 4a - 8b - 8 = 0\Leftrightarrow b = \dfrac{- a - 2}{2} \right.$.

Thay $b$ và $c$ vào phương trình $a^{2} + b^{2} + {(c + 3)}^{2} = 8$:

$a^{2} + \left( \dfrac{- a - 2}{2} \right)^{2} + {( - a - 1 + 3)}^{2} = 8$

$\left. \Leftrightarrow a^{2} + \dfrac{a^{2} + 4a + 4}{4} + {(2 - a)}^{2} = 8 \right.$

$\left. \Leftrightarrow 4a^{2} + a^{2} + 4a + 4 + 4(4 - 4a + a^{2}) = 32 \right.$

$\left. \Leftrightarrow 9a^{2} - 12a + 20 = 32\Leftrightarrow 9a^{2} - 12a - 12 = 0\Leftrightarrow 3a^{2} - 4a - 4 = 0 \right.$.

Phương trình có hai nghiệm $a = 2$ hoặc $a = - \dfrac{2}{3}$.

Vì hoành độ của điểm $C$ dương nên $a > 0$, ta chọn $a = 2$.

Với $a = 2$, suy ra $c = - 2 - 1 = - 3$ và $b = \dfrac{- 2 - 2}{2} = - 2$.

Vậy tọa độ điểm $C$ là $C(2; - 2; - 3)$.

Giá trị biểu thức cần tính là: $a - b + 3c = 2 - ( - 2) + 3( - 3) = - 5$.

Đáp án cần điền là: -5

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.