Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn (O), từ điểm A kẻ các tiếp tuyến AM, AN
Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn (O), từ điểm A kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N là các tiếp điểm). Đường thẳng AO cắt đường tròn (O) tại hai điểm phân biệt P và Q (P nằm giữa A và Q).
a) Chứng minh bốn điểm A, M, O, N cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi H là giao điểm của MN với OA, I là trung điểm của AH. Đường thẳng MI cắt (O) tại điểm J (J khác M). Chứng minh $AP.AQ = AM^{2}$ và HJ vuông góc với MI.
Quảng cáo
a) Sử dụng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau để xác định các góc vuông. Sử dụng dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng $180^{{^\circ}}$) để chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.
b)
- Biểu diễn các đoạn thẳng AP, AQ thông qua đoạn AO và bán kính R. Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông để suy ra hằng đẳng thức cần chứng minh.
- Sử dụng tam giác đồng dạng để chứng minh $IM \cdot IJ = IP \cdot IQ = IO^{2} - R^{2}$. Biến đổi đại số các đoạn thẳng trên trục AO để chứng minh $IM \cdot IJ = IH^{2}$. Từ đó chứng minh $\left. \bigtriangleup IHJ \right.\sim \bigtriangleup IHM$, suy ra $\angle IJH = 90^{{^\circ}}$.
a) Xét $\Delta AMO$ ta có: $\angle AMO = 90^{0}$ ($AM$là tiếp tuyến) nên $\Delta AMO$ vuông tại M.
Suy ra $A,M,O$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AO$
Xét $\Delta ANO$ ta có: $\angle ANO = 90^{0}$ ($AN$là tiếp tuyến) nên $\Delta ANO$ vuông tại N
Suy ra $A,N,O$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AO$
Vậy $A,M,N,O$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AO$.
b) Ta có $AM$là tiếp tuyến nên ta có $\angle AMP = \angle AMO - \angle PMO = 90^{0} - \angle PMO$
Mà $\Delta OMP$ cân tại O nên $\angle PMO = \dfrac{180^{0} - \angle MOP}{2} = 90^{0} - \dfrac{\angle MOP}{2} = 90^{0} - \angle MQP$
Suy ra $\angle AMP = \angle MQP$
Xét $\Delta AMP$ và $\Delta AQM$ ta có:
$\angle MAQ$ chung
$\angle AMP = \angle MQP$
Suy ra $\Delta AMP \sim \Delta AQM$ (g.g)
Suy ra $\dfrac{AM}{AQ} = \dfrac{AP}{AM}$ hay $AM^{2} = AP.AQ$ (đpcm)
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có AM = AN. Lại có OM = ON = R.
Suy ra OA là đường trung trực của đoạn thẳng MN.
Do đó $OA\bot MN$ tại $H$. Suy ra tam giác IHM vuông tại H, tức là $\angle IHM = 90^{{^\circ}}$.
Ta có $\Delta MOH \sim \Delta OAM\left( {g.g} \right)$ nên $\left. OM^{2} = OH \cdot OA\Rightarrow R^{2} = OH \cdot OA \right.$.
Xét $\Delta IQJ$ và $\Delta IMP$ có $\angle MIQ$ chung và $\angle IMP = \angle JQI$ ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung JP của (O) nên $\left. \Delta IQJ \right.\sim\Delta IMP\left( {g.g} \right)$
Suy ra $\left. \dfrac{IQ}{IM} = \dfrac{IJ}{IP}\Rightarrow IM \cdot IJ = IP \cdot IQ \right.$.
Ta có: $IP = IO - OP = IO - R$ và $IQ = IO + OQ = IO + R$.
Suy ra $IP \cdot IQ = (IO - R)(IO + R) = IO^{2} - R^{2}$.
Thay $R^{2} = OH \cdot OA$, ta được: $IM \cdot IJ = IO^{2} - OH \cdot OA$ (*)
Mà $IO = IH + HO$ và $OA = AH + HO = 2IH + HO$ (vì I là trung điểm của AH nên AH = 2IH).
Thay vào (*) ta có $IM \cdot IJ = {(IH + HO)}^{2} - HO(2IH + HO)$
$IM \cdot IJ = IH^{2} + 2IH \cdot HO + HO^{2} - 2IH \cdot HO - HO^{2}$
$IM \cdot IJ = IH^{2}$.
Từ đó ta có tỉ lệ: $\dfrac{IH}{IM} = \dfrac{IJ}{IH}$.
Xét $\Delta IHJ$ và $\Delta IHM$ có:
Góc $\angle MIH$ (hay $\angle JIH$) chung;
$\dfrac{IH}{IM} = \dfrac{IJ}{IH}$ (chứng minh trên).
Suy ra $\left. \Delta IHJ \right.\sim\Delta IHM$ (c-g-c).
Suy ra $\angle IJH = \angle IHM$.
Mà $\angle IHM = 90^{{^\circ}}$ (do $OA\bot MN$ tại $H$), nên $\angle IJH = 90^{{^\circ}}$.
Vậy $HJ\bot MI$ tại $J$.
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
