a) Một hình nón nội tiếp một hình cầu bán kính bằng 6 dm, hình nón có đỉnh và đường tròn

Câu hỏi số 969969:

Vận dụng

a) Một hình nón nội tiếp một hình cầu bán kính bằng 6 dm, hình nón có đỉnh và đường tròn đáy nằm trên mặt cầu (Tham khảo hình vẽ). Tính thể tích lớn nhất của hình nón đó.

b) Cho các số thực dương a,b thỏa mãn $a + b + ab = 3$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \dfrac{2a^{2}b^{2} + 3}{ab} - \dfrac{4}{a^{2} + b^{2}} + 3$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:969969

Phương pháp giải

a) Gọi chiều cao hình nón là h, bán kính đáy là r. Thiết lập mối liên hệ giữa r, h và bán kính mặt cầu R. Viết hàm số thể tích theo biến h và áp dụng bất đẳng thức Cô-si (AM-GM) để tìm giá trị lớn nhất.

b) Đánh giá điều kiện của tích ab từ giả thiết $a + b + ab = 3$. Sử dụng bất đẳng thức cơ bản $a^{2} + b^{2} \geq \dfrac{{(a + b)}^{2}}{2}$ để tìm cận dưới cho biểu thức. Đưa về khảo sát hàm số hoặc chứng minh bất đẳng thức một biến theo $x = ab$.

Giải chi tiết

a) Xét hình như trên

Gọi $h,\,\, r$ lần lượt là chiều cao, bán kính đáy của hình nón

Ta có: $OH = IH - OI = h - 6$

Theo định lí Pythagore ta có

$HM^{2} = OM^{2} - OH^{2} = 6^{2} - \left( {h - 6} \right)^{2} = \left( {6 - h + 6} \right)\left( {6 + h - 6} \right) = h\left( {12 - h} \right)$

Thể tích của khối nón là $V = \dfrac{1}{3}\pi r^{2}h = \dfrac{1}{3}\pi.h\left( {12 - h} \right).h$

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có $\dfrac{h}{2}.\left( {12 - h} \right).\dfrac{h}{2} \leq \dfrac{\left( {\dfrac{h}{2} + 12 - h + \dfrac{h}{2}} \right)^{3}}{27} = 64$

Do đó $h\left( {12 - h} \right)h \leq 256$

Như vậy $V \leq \dfrac{256\pi}{3}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\left. \dfrac{h}{2} = 12 - h\Leftrightarrow h = 8 \right.$

Vậy thể tích lớn nhất của hình nón là $\dfrac{256\pi}{3}$ $dm^{3}$ khi chiều cao hình nón bằng 8dm.

b) Cho các số thực dương a, b thỏa mãn $a + b + ab = 3$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \dfrac{2a^{2}b^{2} + 3}{ab} - \dfrac{4}{a^{2} + b^{2}} + 3$

Ta có: $\left( {a - b} \right)^{2} \geq 0,\,\,\forall a,b > 0$ nên $\left( {a + b} \right)^{2} \geq 4ab,\,\,\forall a,b > 0$

Do đó $\left( {3 - ab} \right)^{2} \geq 4ab$ hay $\left( {ab} \right)^{2} - 10ab + 9 \geq 0$

Từ đây ta được $\left( {ab - 1} \right)\left( {ab - 9} \right) \geq 0$ hay $ab \leq 1$ (do $ab < 9$)

Đặt $t = ab,\,\, 0 < t \leq 1$

Ta có: $a^{2} + b^{2} = \left( {a + b} \right)^{2} - 2ab$

$\begin{array}{l} {= \left( {3 - t} \right)^{2} - 2t = t^{2} - 8t + 9} \\ {= t^{2} - 8t + 7 + 2 = \left( {t - 1} \right)\left( {t - 7} \right) + 2} \end{array}$

Vì $0 < t \leq 1$ nên $t - 1 \leq 0,\,\, t - 7 < 0$ nên $a^{2} + b^{2} = \left( {t - 1} \right)\left( {t - 7} \right) + 2 \geq 2$

Do đó $\dfrac{4}{a^{2} + b^{2}} \leq 2$ hay $- \dfrac{4}{a^{2} + b^{2}} \geq - 2$

Khi đó $P \geq 2t + \dfrac{3}{t} - 2 + 3 = 2t + \dfrac{3}{t} + 1$

Theo bất đẳng thức Cauchy $2t + \dfrac{2}{t} \geq 2\sqrt{2t.\dfrac{2}{t}} = 4$

Mặt khác $0 < t \leq 1$ nên $\dfrac{1}{t} \geq 1$

Do đó $P \geq 4 + 1 + 1 = 6$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a = b = 1$

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link