Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên khoảng $(0; + \infty)$ và thỏa mãn hệ thức $x \cdot

Câu hỏi số 970133:

Vận dụng

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên khoảng $(0; + \infty)$ và thỏa mãn hệ thức $x \cdot f'(x) - f(x) = 2$ với mọi $x > 0$. Biết rằng $f(1) = 0$. Giá trị của $f(2)$ bằng

A. 2.

B. 4.

C. 0.

D. -2.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:970133

Phương pháp giải

Chia hai vế cho $x^{2}$ để thu được cấu trúc đạo hàm của thương số: $\left( \dfrac{f(x)}{x} \right)' = \dfrac{2}{x^{2}}$.

Lấy nguyên hàm hai vế và dùng giả thiết $f(1) = 0$ để tìm $f(x)$.

Giải chi tiết

Với $x > 0$, chia cả hai vế của hệ thức cho $x^{2}$ ta được:

$\left. \dfrac{x \cdot f'(x) - f(x)}{x^{2}} = \dfrac{2}{x^{2}}\Leftrightarrow\left\lbrack \dfrac{f(x)}{x} \right\rbrack' = \dfrac{2}{x^{2}} \right.$

Lấy nguyên hàm hai vế, ta thu được:

$\dfrac{f(x)}{x} = {\int\dfrac{2}{x^{2}}}dx = - \dfrac{2}{x} + C$

Suy ra $f(x) = - 2 + C \cdot x$. Theo giả thiết $\left. f(1) = 0\Rightarrow - 2 + C \cdot 1 = 0\Leftrightarrow C = 2. \right.$ Do đó, hàm số là $f(x) = 2x - 2$.

Vậy $f(2) = 2 \cdot 2 - 2 = 2$.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.