Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Trong hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh $A(1;3; - 2)$, $B(3;2; - 4)$, $C(2;1;0),$ $D(3;5; -

Trong hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh $A(1;3; - 2)$, $B(3;2; - 4)$, $C(2;1;0),$ $D(3;5; - 1)$.

Trả lời cho các câu 1, 2 dưới đây:

Câu hỏi số 1:
Vận dụng

Gọi M là trung điểm BC thì góc $\widehat{AMD}$ (làm tròn đến hàng đơn vị theo đơn vị độ) bằng

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải
Câu hỏi:970139
Phương pháp giải

Dùng công thức tính tọa độ trung điểm $M$.

Góc cần tìm được tính qua công thức cosin góc giữa hai véc-tơ $\overset{\rightarrow}{MA}$ và $\overset{\rightarrow}{MD}$.

Giải chi tiết

Vì M là trung điểm của BC nên tọa độ điểm M là:

$\left. x_{M} = \dfrac{3 + 2}{2} = \dfrac{5}{2};\quad y_{M} = \dfrac{2 + 1}{2} = \dfrac{3}{2};\quad z_{M} = \dfrac{- 4 + 0}{2} = - 2\Rightarrow M(\dfrac{5}{2};\dfrac{3}{2}; - 2) \right.$.

Ta tính các véc-tơ:

$\overset{\rightarrow}{MA} = \left( {1 - \dfrac{5}{2};3 - \dfrac{3}{2}; - 2 - ( - 2)} \right) = \left( {- \dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2};0} \right)$

$\overset{\rightarrow}{MD} = \left( {3 - \dfrac{5}{2};5 - \dfrac{3}{2}; - 1 - ( - 2)} \right) = \left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{7}{2};1} \right)$

Độ dài các véc-tơ:

$MA = \sqrt{\left( {- \dfrac{3}{2}} \right)^{2} + \left( \dfrac{3}{2} \right)^{2} + 0^{2}} = \sqrt{\dfrac{9}{4} + \dfrac{9}{4}} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$

$MD = \sqrt{\left( \dfrac{1}{2} \right)^{2} + \left( \dfrac{7}{2} \right)^{2} + 1^{2}} = \sqrt{\dfrac{1}{4} + \dfrac{49}{4} + 1} = \sqrt{\dfrac{54}{4}} = \dfrac{3\sqrt{6}}{2}$

Tích vô hướng của hai véc-tơ:

$\overset{\rightarrow}{MA} \cdot \overset{\rightarrow}{MD} = ( - \dfrac{3}{2}) \cdot \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{7}{2} + 0 \cdot 1 = - \dfrac{3}{4} + \dfrac{21}{4} = \dfrac{18}{4} = \dfrac{9}{2}.$

Chiếu theo công thức góc giữa hai véc-tơ:

$\cos\widehat{AMD} = \dfrac{\overset{\rightarrow}{MA} \cdot \overset{\rightarrow}{MD}}{MA \cdot MD} = \dfrac{\dfrac{9}{2}}{\dfrac{3\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{3\sqrt{6}}{2}} = \dfrac{\dfrac{9}{2}}{\dfrac{9\sqrt{12}}{4}} = \dfrac{2}{\sqrt{12}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}.$

Suy ra $\widehat{AMD} \approx 54^{{^\circ}}44' \approx 55^{{^\circ}}$.

Đáp án cần chọn là: D

Câu hỏi số 2:
Vận dụng

Gọi A', B', C', D' là hình chiếu của A, B, C, D lên mặt phẳng Oxy. Tứ giác tạo bởi các điểm đó là

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải
Câu hỏi:970140
Phương pháp giải

Tọa độ hình chiếu trên mặt phẳng $Oxy$ được tìm bằng cách cho cao độ $z = 0$.

Xét sự song song và độ dài các véc-tơ cạnh để phân loại tứ giác.

Giải chi tiết

Hình chiếu vuông góc của các điểm lên mặt phẳng Oxy sẽ có tung độ $z = 0$. Do đó:

$A'(1;3;0)$, $B'(3;2;0)$, $C'(2;1;0)$, $D'(3;5;0)$

Xét trong mặt phẳng Oxy, ta tính các véc-tơ cạnh của tứ giác $A'B'C'D'$:

$\overset{\rightarrow}{A^{\prime}D^{\prime}} = (3 - 1;5 - 3) = (2;2)$

$\overset{\rightarrow}{B^{\prime}C^{\prime}} = (2 - 3;1 - 2) = ( - 1; - 1)$

Nhận thấy $\overset{\rightarrow}{A^{\prime}D^{\prime}} = - 2\overset{\rightarrow}{B^{\prime}C^{\prime}},$ suy ra hai đường thẳng A'D' và B'C' song song với nhau.

Do đó, tứ giác $A'B'C'D'$ có một cặp cạnh đối song song nên nó là hình thang.

Ta tính tiếp các cạnh bên để kiểm tra tính cân:

$\left. \overset{\rightarrow}{A^{\prime}B^{\prime}} = (3 - 1;2 - 3) = (2; - 1)\Rightarrow A'B' = \sqrt{2^{2} + {( - 1)}^{2}} = \sqrt{5} \right.$

$\left. \overset{\rightarrow}{D^{\prime}C^{\prime}} = (2 - 3;1 - 5) = ( - 1; - 4)\Rightarrow D'C' = \sqrt{{( - 1)}^{2} + {( - 4)}^{2}} = \sqrt{17} \right.$

Vì $A'B' \neq D'C'$ nên đây là hình thang không cân.

Đáp án cần chọn là: D

Quảng cáo

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn