Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Cho dãy số $(u_{n})$ biết $\left\{ \begin{array}{l} {u_{1} = 2026} \\ {u_{n + 1} = \dfrac{1}{2}u_{n}.} \end{array}

Cho dãy số $(u_{n})$ biết $\left\{ \begin{array}{l} {u_{1} = 2026} \\ {u_{n + 1} = \dfrac{1}{2}u_{n}.} \end{array} \right.$

Trả lời cho các câu 1, 2 dưới đây:

Câu hỏi số 1:
Vận dụng

Tính $S = u_{1} + u_{2} + \ldots + u_{n} + \ldots$ là

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải
Câu hỏi:970142
Phương pháp giải

Nhận diện hệ thức truy hồi tạo thành cấp số nhân lùi vô hạn.

Áp dụng công thức tính tổng $S = \dfrac{u_{1}}{1 - q}$.

Giải chi tiết

Từ hệ thức truy hồi $u_{n + 1} = \dfrac{1}{2}u_{n},$ ta thấy $(u_{n})$ là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu $u_{1} = 2026$ và công bội $q = \dfrac{1}{2}$ (thỏa mãn $\left| q \middle| < 1) \right.$.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn được tính theo công thức:

$S = \dfrac{u_{1}}{1 - q} = \dfrac{2026}{1 - \dfrac{1}{2}} = \dfrac{2026}{\dfrac{1}{2}} = 4052.$

Đáp án cần chọn là: B

Câu hỏi số 2:
Vận dụng

Đặt $v_{n} = \dfrac{u_{n + 1}}{3u_{n} + 2}.$ Tính $L = \lim\limits_{n\rightarrow + \infty}\left\lbrack {\dfrac{2}{n^{2}}(v_{1} + 2v_{2} + 3v_{3} + \ldots + nv_{n})} \right\rbrack$

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải
Câu hỏi:970143
Phương pháp giải

Do $u_{n}$ giảm cực nhanh về 0 nên xấp xỉ được $v_{n}$.

Tổng vô hạn các $v_{n}$ là một hằng số hữu hạn, chia cho bậc hai của $n$ khi $\left. n\rightarrow + \infty \right.$ sẽ tiến về 0.

Giải chi tiết

Vì $(u_{n})$ là cấp số nhân có $u_{1} = 2026$ và $q = \dfrac{1}{2}$ nên số hạng tổng quát là $u_{n} = 2026 \cdot \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n - 1}$.

Khi $\left. n\rightarrow + \infty \right.$, ta có $\lim u_{n} = 0$ và $\lim u_{n + 1} = 0$.

Do đó, giới hạn của dãy số $(v_{n})$ là: $\lim v_{n} = \lim\dfrac{u_{n + 1}}{3u_{n} + 2} = \dfrac{0}{3 \cdot 0 + 2} = 0.$

Vì $\left. u_{n}\rightarrow 0 \right.$ nên với $n$ đủ lớn, mẫu số $3u_{n} + 2 \approx 2$.

Khi đó, $v_{n} = \dfrac{u_{n + 1}}{3u_{n} + 2} \approx \dfrac{u_{n + 1}}{2} = \dfrac{\dfrac{1}{2}u_{n}}{2} = \dfrac{1}{4}u_{n}.$

Vì $u_{n}$ giảm nhanh theo cấp số nhân nên các số hạng $v_{n}$ cũng tiến về 0 rất nhanh.

Do đó, tổng vô hạn ${\sum\limits_{k = 1}^{+ \infty}k} \cdot v_{k}$ là một chuỗi hội tụ về một hằng số hữu hạn $C$.

Khi đó:

$L = \lim\limits_{n\rightarrow + \infty}\left\lbrack {\dfrac{2}{n^{2}}(v_{1} + 2v_{2} + \ldots + nv_{n})} \right\rbrack = \lim\limits_{n\rightarrow + \infty}\dfrac{2C}{n^{2}} = 0.$

Đáp án cần chọn là: B

Quảng cáo

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn