Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(1;0;0),B(0;0; - 1),C(0;1;0)$ và mặt phẳng $(P):x - 2y + 2z + 5 = 0$.

Câu hỏi số 970492:

Vận dụng

Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(1;0;0),B(0;0; - 1),C(0;1;0)$ và mặt phẳng $(P):x - 2y + 2z + 5 = 0$. Xét điểm $M$ di động trên $(P)$, giá trị nhỏ nhất của $\left| {\overset{\rightarrow}{MA} - \overset{\rightarrow}{MB} + \overset{\rightarrow}{MC}} \right|$ bằng

A. $\dfrac{4}{3}$.

B. $6$.

C. $2$.

D. $\dfrac{10}{3}$.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:970492

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp tâm tỉ cự để thu gọn biểu thức vectơ. Tìm điểm $I$ sao cho $\overset{\rightarrow}{IA} - \overset{\rightarrow}{IB} + \overset{\rightarrow}{IC} = \overset{\rightarrow}{0}$.

Khi đó $\left| {\overset{\rightarrow}{MA} - \overset{\rightarrow}{MB} + \overset{\rightarrow}{MC}} \right| = \left| \overset{\rightarrow}{MI} \right| = MI$.

Giá trị nhỏ nhất của $MI$ với $M \in (P)$ chính là khoảng cách từ điểm $I$ đến mặt phẳng $(P)$, ký hiệu là $d(I,(P))$.

Giải chi tiết

Tìm tọa độ điểm $I(x_{I};y_{I};z_{I})$ thỏa mãn $\overset{\rightarrow}{IA} - \overset{\rightarrow}{IB} + \overset{\rightarrow}{IC} = \overset{\rightarrow}{0}$:

$x_{I} = x_{A} - x_{B} + x_{C} = 1 - 0 + 0 = 1$

$y_{I} = y_{A} - y_{B} + y_{C} = 0 - 0 + 1 = 1$

$z_{I} = z_{A} - z_{B} + z_{C} = 0 - ( - 1) + 0 = 1$

$\left. \Rightarrow I(1;1;1) \right.$.

$\left| {\overset{\rightarrow}{MA} - \overset{\rightarrow}{MB} + \overset{\rightarrow}{MC}} \right| = \left| {\overset{\rightarrow}{MI} + \overset{\rightarrow}{IA} - (\overset{\rightarrow}{MI} + \overset{\rightarrow}{IB}) + \overset{\rightarrow}{MI} + \overset{\rightarrow}{IC}} \right| = \left| {\overset{\rightarrow}{MI} + (\overset{\rightarrow}{IA} - \overset{\rightarrow}{IB} + \overset{\rightarrow}{IC})} \right| = \left| \overset{\rightarrow}{MI} \right| = MI$

Giá trị nhỏ nhất của $MI$ là khoảng cách từ $I$ đến mặt phẳng $(P):x - 2y + 2z + 5 = 0$:

$d(I,(P)) = \dfrac{\left| {1 - 2(1) + 2(1) + 5} \right|}{\sqrt{1^{2} + {( - 2)}^{2} + 2^{2}}} = 2$

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.