Người ta bơm thêm khí vào một quả bóng hình cầu sao cho thể tích

Câu hỏi số 970499:

Vận dụng

Người ta bơm thêm khí vào một quả bóng hình cầu sao cho thể tích của quả bóng tăng lên với tốc độ là $50\text{cm}^{3}\text{/s}$. Giả sử trong quá trình bơm quả bóng luôn có dạng hình cầu. Tính tốc độ gia tăng bán kính của quả bóng (đơn vị: $\text{cm/s}$) khi bán kính của nó bằng $10\text{cm}$.

A. $\dfrac{8}{\pi}$.

B. $\dfrac{4}{\pi}$.

C. $\dfrac{1}{4\pi}$.

D. $\dfrac{1}{8\pi}$.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:970499

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính thể tích khối cầu $V = \dfrac{4}{3}\pi r^{3}$.

Đạo hàm hai vế theo biến thời gian $t$ để tìm mối liên hệ giữa tốc độ thay đổi thể tích và tốc độ thay đổi bán kính: $V'(t) = 4\pi r^{2} \cdot r'(t)$.

Thay các giá trị đã cho vào biểu thức để tính $r'(t)$.

Giải chi tiết

Gọi $V(t)$ và $r(t)$ lần lượt là thể tích và bán kính của quả bóng tại thời điểm $t$.

Công thức tính thể tích của quả bóng hình cầu là: $V = \dfrac{4}{3}\pi r^{3}$.

Lấy đạo hàm hai vế theo thời gian $t$, ta được: $V'(t) = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 3r^{2} \cdot r'(t)$

$\left. \Rightarrow V'(t) = 4\pi r^{2} \cdot r'(t) \right.$

Theo giả thiết, tốc độ tăng thể tích là $V'(t) = 50$ và tại thời điểm đang xét bán kính $r = 10$.

Thay các giá trị này vào phương trình đạo hàm, ta có: $50 = 4\pi \cdot 10^{2} \cdot r'(t)$

$\left. \Rightarrow 50 = 400\pi \cdot r'(t) \right.$

$\left. \Rightarrow r'(t) = \dfrac{50}{400\pi} = \dfrac{1}{8\pi} \right.$.

Vậy tốc độ gia tăng bán kính của quả bóng là $\dfrac{1}{8\pi}\text{cm/s}$.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.