Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\dfrac{x + 1}{2} = \dfrac{y - 1}{1} = \dfrac{z}{3}$ và mặt

Câu hỏi số 970500:

Vận dụng

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\dfrac{x + 1}{2} = \dfrac{y - 1}{1} = \dfrac{z}{3}$ và mặt phẳng $(P):2x + y - z = 0$. Gọi $I$ là giao điểm của $d$ và $(P)$, điểm $K$ thuộc $d$ sao cho $IK = \sqrt{14}$. Khoảng cách từ $K$ tới $(P)$ là:

A. $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$.

B. $\dfrac{5\sqrt{6}}{6}$.

C. $\dfrac{\sqrt{6}}{2}$.

D. $\dfrac{2\sqrt{6}}{3}$.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:970500

Phương pháp giải

Tính góc $\alpha$ giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ thông qua vectơ chỉ phương ${\overset{\rightarrow}{u}}_{d} = (2;1;3)$ và vectơ pháp tuyến ${\overset{\rightarrow}{n}}_{P} = (2;1; - 1)$.

Sử dụng công thức $\sin\alpha = \dfrac{\left| {\overset{\rightarrow}{u}}_{d} \cdot {\overset{\rightarrow}{n}}_{P} \right|}{\left| {\overset{\rightarrow}{u}}_{d} \middle| \cdot \middle| {\overset{\rightarrow}{n}}_{P} \right|}$.

Khoảng cách từ $K$ đến mặt phẳng $(P)$ được tính bằng công thức lượng giác trong tam giác vuông: $h = IK \cdot \sin\alpha$.

Giải chi tiết

Vectơ chỉ phương của $d$ là ${\overset{\rightarrow}{u}}_{d} = (2;1;3)$.

Vectơ pháp tuyến của $(P)$ là ${\overset{\rightarrow}{n}}_{P} = (2;1; - 1)$.

Gọi $\alpha$ là góc giữa $d$ và $(P)$, ta có:

$\sin\alpha = \dfrac{\left| 2 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + 3 \cdot ( - 1) \right|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + 3^{2}} \cdot \sqrt{2^{2} + 1^{2} + {( - 1)}^{2}}} = \dfrac{|4 + 1 - 3|}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{6}} = \dfrac{2}{\sqrt{84}} = \dfrac{2}{2\sqrt{21}} = \dfrac{1}{\sqrt{21}}$

Vì $I$ là giao điểm của $d$ và $(P)$, $K$ thuộc $d$, nên khoảng cách từ $K$ đến $(P)$ là:

$d(K,(P)) = IK \cdot \sin\alpha = \sqrt{14} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{21}} = \sqrt{\dfrac{14}{21}} = \sqrt{\dfrac{2}{3}} = \dfrac{\sqrt{6}}{3}$

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.