Cho khối chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy.
Cho khối chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết $(SBC)$ tạo với đáy một góc $60{^\circ}$. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Công thức tính thể tích khối chóp là $V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{\text{d}} \cdot h$, với $S_{\text{d}}$ là diện tích tam giác đều $ABC$ và chiều cao $h = SA$.
Xác định góc giữa mặt phẳng $(SBC)$ và mặt đáy $(ABC)$: Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Vì tam giác $ABC$ đều nên $AM\bot BC$. Theo định lý ba đường vuông góc, $SM\bot BC$. Từ đó góc giữa hai mặt phẳng là góc $\widehat{SMA}$.
Tính độ dài đường cao $AM$ của tam giác đều đáy, sau đó dùng hệ thức lượng trong tam giác vuông $SAM$ để tính chiều cao $SA$.
Diện tích đáy là diện tích tam giác đều $ABC$ cạnh $a$: $S_{ABC} = \dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.
Do tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ nên đoạn thẳng $AM$ là đường cao đồng thời là đường trung tuyến: $AM = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Ta có:
$BC\bot AM$ (do tam giác $ABC$ đều)
$BC\bot SA$ (do $SA\bot(ABC)$)
$\left. \Rightarrow BC\bot(SAM)\Rightarrow BC\bot SM \right.$.
Giao tuyến của hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ là đường thẳng $BC$.
Vì $AM\bot BC$ và $SM\bot BC$ nên góc giữa mặt phẳng $(SBC)$ và đáy $(ABC)$ là:
$\widehat{(SBC),(ABC)} = \widehat{SMA} = 60^{{^\circ}}$
Xét tam giác vuông $SAM$ tại $A$, ta có:
$SA = AM \cdot \tan\widehat{SMA} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \tan 60^{{^\circ}} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \dfrac{3a}{2}$
Thể tích của khối chóp $S.ABC$ là: $V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot SA = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{4} \cdot \dfrac{3a}{2} = \dfrac{a^{3}\sqrt{3}}{8}$
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
