Một nhà máy dự định sản xuất một sản phẩm mới là bình inox có

Câu hỏi số 970508:

Vận dụng

Một nhà máy dự định sản xuất một sản phẩm mới là bình inox có dạng hình hồ lô. Khi mô phỏng trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ (đơn vị đo trên mỗi trục tọa độ là $\text{cm}$), lòng trong bình hồ lô được tạo ra từ việc quay một hình phẳng $(H)$ quanh trục $Ox$. Hình phẳng $(H)$ được giới hạn bởi: trục hoành; một cung tròn tâm $O$, bán kính $8$ trên đoạn $\lbrack - 8;6\rbrack$; một cung tròn có tâm trên trục hoành, bán kính $6$ trên đoạn $\lbrack 6;14,5\rbrack$ và hai đoạn thẳng như trong hình vẽ dưới đây. Hỏi nếu đổ nước vào bình cho đến khi mực nước cách miệng bình $3\text{cm}$ thì lượng nước trong bình là bao nhiêu lít? (Cho biết $1$ lít $= 1000\text{cm}^{3}$ và kết quả làm tròn đến hàng phần chục.)

A. $1,1$ .

B. $2,7$ .

C. $2,8$.

D. $0,9$.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:970508

Phương pháp giải

Xác định giới hạn mực nước đổ vào bình: Đáy bình tại $x = - 8$, miệng bình tại điểm cuối cùng $x = 16$.

Đổ nước cách miệng bình $3\text{cm}$ nghĩa là mực nước đạt đến hoành độ $x = 16 - 3 = 13$.

Tìm phương trình của hai cung tròn tạo thành bình hồ lô:

Cung tròn thứ nhất có tâm $O(0;0)$, bán kính $R_{1} = 8$: $\left. x^{2} + y^{2} = 64\Rightarrow y_{1}^{2} = 64 - x^{2} \right.$.

Cung tròn thứ hai có tâm $I(x_{0};0)$ trên trục hoành, bán kính $R_{2} = 6$.

Từ hình vẽ, tại điểm tiếp giáp $x = 6$, tung độ của hai cung bằng nhau: $y^{2} = 64 - 6^{2} = 28$.

Thế vào phương trình đường tròn thứ hai $\left. {(6 - x_{0})}^{2} + 28 = 6^{2} = 36\Rightarrow{(6 - x_{0})}^{2} = 8\Rightarrow x_{0} = 6 + \sqrt{8} \approx 8,83 \right.$.

Vậy phương trình cung thứ hai là $y_{2}^{2} = 36 - {(x - x_{0})}^{2}$.

Sử dụng công thức tính thể tích vật thể tròn xoay quay quanh trục Ox: $V = \pi \int_a^b {{y^2}} {\mkern 1mu} dx$

Lượng nước chứa từ $x = - 8$ đến $x = 13$ được chia thành hai phần tích phân:

$V = \pi \int_{ - 8}^6 {y_1^2} {\mkern 1mu} dx + \pi \int_6^{13} {y_2^2} {\mkern 1mu} dx$

Giải chi tiết

Xác định giới hạn tích phân của mực nước:

Miệng bình nằm tại vị trí có hoành độ lớn nhất trên hình vẽ là $x = 16$.

Mực nước cách miệng bình một khoảng $3\text{cm}$, do đó nước sẽ đầy đến vị trí hoành độ: $x = 16 - 3 = 13$

Tìm phương trình cung tròn thứ nhất (trên đoạn $\lbrack - 8;6\rbrack$):

Cung tròn có tâm là gốc tọa độ $O(0;0)$ và bán kính $R_{1} = 8$ có phương trình: $\left. x^{2} + y^{2} = 8^{2} = 64\Rightarrow y_{1}^{2} = 64 - x^{2} \right.$

Tìm phương trình cung tròn thứ hai (trên đoạn $\lbrack 6;14,5\rbrack$):

Tại điểm ranh giới $x = 6$, tung độ của điểm này trên cung thứ nhất là: $y^{2} = 64 - 6^{2} = 28$

Cung tròn thứ hai có tâm $I(x_{0};0)$ nằm trên trục hoành và bán kính $R_{2} = 6$, có phương trình dạng: ${(x - x_{0})}^{2} + y^{2} = 6^{2} = 36$

Vì điểm ranh giới $(6;\sqrt{28})$ thuộc đường tròn này, ta thay tọa độ vào để tìm $x_{0}$:

$\left. {(6 - x_{0})}^{2} + 28 = 36\Rightarrow{(6 - x_{0})}^{2} = 8\Rightarrow 6 - x_{0} = - \sqrt{8}\text{(do}x_{0} > 6\text{)} \right.$

$\left. \Rightarrow x_{0} = 6 + \sqrt{8} = 6 + 2\sqrt{2} \right.$

Do đó, phương trình phần bình phương tung độ của cung thứ hai là:$y_{2}^{2} = 36 - {(x - 6 - 2\sqrt{2})}^{2}$

Thể tích khối tròn xoay chứa nước từ $x = - 8$ đến $x = 13$ là:

$V = \pi \int_{ - 8}^6 {(64 - {x^2})} {\mkern 1mu} dx + \pi \int_6^{13} {\left[ {36 - {{(x - 6 - 2\sqrt 2 )}^2}} \right]} {\mkern 1mu} dx = 2744,51{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}} \approx {\rm{2,74(l)}}$

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.