Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \dfrac{x^{2} - x}{\sqrt{x} - 1}$ trên khoảng $(1; + \infty)$

Câu hỏi số 970534:

Thông hiểu

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \dfrac{x^{2} - x}{\sqrt{x} - 1}$ trên khoảng $(1; + \infty)$ là

A. $F(x) = \dfrac{2}{5}x^{\dfrac{5}{2}} + \dfrac{2}{3}x^{\dfrac{3}{2}} + C$.

B. $F(x) = \dfrac{2}{5}x^{\dfrac{5}{2}} + \dfrac{1}{2}x^{2} + C$.

C. $F(x) = \dfrac{2}{3}x^{\dfrac{3}{2}} + \dfrac{1}{2}x^{2} + C$.

D. $F(x) = \dfrac{2}{3}x^{\dfrac{3}{2}} + \dfrac{1}{3}x^{3} + C$.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:970534

Phương pháp giải

- Rút gọn biểu thức của hàm số $f(x)$ bằng cách phân tích tử thức thành nhân tử để triệt tiêu mẫu thức.

- Sử dụng công thức nguyên hàm của hàm số lũy thừa: ${\int x^{\alpha}}dx = \dfrac{x^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} + C$ (với $\alpha \neq - 1$).

Giải chi tiết

- Với $x \in (1; + \infty)$, ta biến đổi hàm số $f(x)$ như sau:

$f(x) = \dfrac{x^{2} - x}{\sqrt{x} - 1} = \dfrac{x(x - 1)}{\sqrt{x} - 1} = x(\sqrt{x} + 1) = x \cdot x^{\dfrac{1}{2}} + x = x^{\dfrac{3}{2}} + x$

$F(x) = {\int f}(x)dx = {\int{(x^{\dfrac{3}{2}} + x)}}dx$

$F(x) = \dfrac{x^{\dfrac{5}{2}}}{\dfrac{5}{2}} + \dfrac{1}{2}x^{2} + C = \dfrac{2}{5}x^{\dfrac{5}{2}} + \dfrac{1}{2}x^{2} + C$

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.