Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Trong một buổi thực hành trên mô hình mô phỏng quá trình tiếp nhiên liệu từ một tàu hậu

Trong một buổi thực hành trên mô hình mô phỏng quá trình tiếp nhiên liệu từ một tàu hậu cần cho tàu tuần tra trên biển, hai tàu duy trì khoảng cách để tránh va chạm. Do tác động của sóng biển, các vị trí kết nối nhiên liệu dao động lên xuống theo phương thẳng đứng.

Tại thời điểm $t(s)$, chiều cao $(m)$ của cổng nạp trên tàu tuần tra và đầu vòi tiếp nhiên liệu trên tàu hậu cần so với mặt biển (mực nước trung bình) được xấp xỉ và mô hình hóa lần lượt bởi các hàm số: $f(t) = 10 + \dfrac{1}{2}\cos(\omega t)\mspace{6mu}(m)$ và $h(t) = 18 + \dfrac{2}{5}\sin(\omega t)\mspace{6mu}(m)$ với $\omega = 0,5\mspace{6mu}\text{rad/s}.$

Gọi $d(t)$ là khoảng cách theo phương thẳng đứng (chênh lệch độ cao) từ đầu vòi tiếp nhiên liệu của tàu hậu cần xuống cổng nạp nhiên liệu của tàu tuần tra (như hình minh họa). Giả định các tàu chỉ dao động theo phương thẳng đứng.

Trả lời cho các câu 1, 2, 3 dưới đây:

Câu hỏi số 1:
Vận dụng

Biết rằng nếu khoảng cách $d(t)$ nhỏ hơn $7,5\text{m}$, hệ thống an toàn của tàu sẽ tự động phát cảnh báo nguy cơ không an toàn, căn cứ mô tả của đề bài và hình vẽ, hãy xác định giá trị nhỏ nhất (làm tròn đến hàng phần trăm) của $d(t)$ và trạng thái tương ứng của hệ thống?

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải
Câu hỏi:970536
Phương pháp giải

- Xác định hàm số khoảng cách $d(t) = h(t) - f(t)$.

- Sử dụng tính chất của biểu thức dạng $a\sin x + b\text{cosx}$ để tìm giá trị nhỏ nhất:

$- \sqrt{a^{2} + b^{2}} \leq a\sin x + b\cos x \leq \sqrt{a^{2} + b^{2}}$.

- So sánh giá trị nhỏ nhất tìm được với ngưỡng an toàn $7,5\text{m}$ để đưa ra kết luận về trạng thái hệ thống.

Giải chi tiết

- Theo đề bài, ta có hàm số khoảng cách $d(t)$ là:

$d(t) = h(t) - f(t) = \left( {18 + \dfrac{2}{5}\text{sin}(\omega t)} \right) - \left( {10 + \dfrac{1}{2}\text{cos}(\omega t)} \right)$

$d(t) = 8 + \dfrac{2}{5}\text{sin}(\omega t) - \dfrac{1}{2}\text{cos}(\omega t)$

- Xét biểu thức $A = \dfrac{2}{5}\text{sin}(\omega t) - \dfrac{1}{2}\text{cos}(\omega t)$.

Đây là biểu thức có dạng $a\text{sin}x + b\text{cos}x$ với $a = \dfrac{2}{5} = 0,4$ và $b = - \dfrac{1}{2} = - 0,5$.

- Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A$ là:

$\text{min~}A = - \sqrt{a^{2} + b^{2}} = - \sqrt{{(0,4)}^{2} + {( - 0,5)}^{2}} = - \sqrt{0,16 + 0,25} = - \sqrt{0,41}$

Khi đó, giá trị nhỏ nhất của $d(t)$ là $\text{min}d(t) = 8 - \sqrt{0,41} \approx 8 - 0,6403 = 7,3597$

Vì $7,3597 < 7,5$ nên hệ thống sẽ tự động phát cảnh báo nguy cơ không an toàn.

Đáp án cần chọn là: B

Câu hỏi số 2:
Thông hiểu

Tại thời điểm bắt đầu quan sát $(t = 0)$, chênh lệch độ cao giữa vị trí đầu vòi tiếp nhiên liệu và cổng nạp nhiên liệu là

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải
Câu hỏi:970537
Phương pháp giải

- Sử dụng công thức tính khoảng cách $d(t) = h(t) - f(t)$.

- Thay giá trị thời điểm bắt đầu quan sát $t = 0$ vào biểu thức của $d(t)$.

- Sử dụng các giá trị lượng giác đặc biệt: $\sin(0) = 0$ và $\cos(0) = 1$.

Giải chi tiết

Theo đề bài, khoảng cách theo phương thẳng đứng giữa đầu vòi tiếp nhiên liệu và cổng nạp nhiên liệu tại thời điểm $t$ là:

$d(t) = h(t) - f(t)$

$d(t) = \left( {18 + \dfrac{2}{5}\sin(\omega t)} \right) - \left( {10 + \dfrac{1}{2}\cos(\omega t)} \right)$

Tại thời điểm bắt đầu quan sát ($t = 0$), ta có:

$d(0) = h(0) - f(0)$

$d(0) = \left( {18 + \dfrac{2}{5}\sin(0,5 \cdot 0)} \right) - \left( {10 + \dfrac{1}{2}\cos(0,5 \cdot 0)} \right)$

$d(0) = \left( {18 + \dfrac{2}{5}\sin(0)} \right) - \left( {10 + \dfrac{1}{2}\cos(0)} \right)$

Vì $\sin(0) = 0$ và $\cos(0) = 1$, ta thay vào biểu thức:

$d(0) = (18 + 0) - (10 + 0,5 \cdot 1)$

$d(0) = 18 - 10,5$

$d(0) = 7,5\text{(m)}$

Vậy chênh lệch độ cao tại thời điểm $t = 0$ là $7,5\text{m}$.

Đáp án cần chọn là: B

Câu hỏi số 3:
Thông hiểu

Để có phương án đảm bảo an toàn, người chỉ huy cần xác định thời điểm $t_{\alpha}$ khi $v(t)$ đạt giá trị lớn nhất lần đầu tiên, khi đó giá trị của $t_{\alpha}$ bằng (đơn vị: giây, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm.)

Đáp án đúng là: C

Xem lời giải
Câu hỏi:970538
Phương pháp giải

- Xác định hàm số khoảng cách $d(t) = h(t) - f(t)$.

- Tính đạo hàm $v(t) = d'(t)$ để tìm tốc độ thay đổi khoảng cách.

- Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $v(t)$ bằng cách sử dụng tính chất của hàm số lượng giác dạng $A\sin(x) + B\cos(x)$ hoặc khảo sát hàm số thông qua đạo hàm $v'(t)$.

- Xác định thời điểm $t > 0$ nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện cực đại.

Giải chi tiết

$d(t) = h(t) - f(t) = \left( {18 + \dfrac{2}{5}\sin(0,5t)} \right) - \left( {10 + \dfrac{1}{2}\cos(0,5t)} \right)$

$d(t) = 8 + 0,4\sin(0,5t) - 0,5\cos(0,5t)$

Tính tốc độ thay đổi khoảng cách $v(t)$:

$v(t) = d'(t) = 0,4 \cdot 0,5\cos(0,5t) - 0,5 \cdot ( - 0,5)\sin(0,5t)$

$v(t) = 0,2\cos(0,5t) + 0,25\sin(0,5t)$

Hàm số $v(t)$ có dạng $A\sin(u) + B\cos(u)$ với $u = 0,5t,A = 0,25,B = 0,2$.

Giá trị lớn nhất của $v(t)$ là $\sqrt{A^{2} + B^{2}} = \sqrt{0,25^{2} + 0,2^{2}} = \sqrt{0,1025}$.

$v(t)$ đạt giá trị lớn nhất khi: $\tan(0,5t) = \dfrac{A}{B} = \dfrac{0,25}{0,2} = 1,25$

$\left. \Rightarrow 0,5t = \arctan(1,25) + k\pi\quad(k \in {\mathbb{Z}}) \right.$

$\left. \Rightarrow t = 2\arctan(1,25) + k2\pi \right.$

Với $k = 0$, ta có: $t_{\alpha} = 2\arctan(1,25) \approx 2 \cdot 0,896055 \approx 1,79211(s)$

Đáp án cần chọn là: C

Quảng cáo

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn