Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Biết rằng

Câu hỏi số 970539:

Thông hiểu

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Biết rằng $\overset{\rightarrow}{AC} + \overset{\rightarrow}{BD} = k\overset{\rightarrow}{NM}$. Giá trị của $k$ là (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:

Đáp án đúng là: -2

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:970539

Phương pháp giải

- Sử dụng quy tắc chèn điểm để biến đổi các vectơ.

- Sử dụng tính chất trung điểm của đoạn thẳng: Nếu $I$ là trung điểm của đoạn thẳng XY thì $\overset{\rightarrow}{IX} + \overset{\rightarrow}{IY} = \overset{\rightarrow}{0}$ và với mọi điểm $O$ bất kỳ, ta có $\overset{\rightarrow}{OX} + \overset{\rightarrow}{OY} = 2\overset{\rightarrow}{OI}$ (hoặc $\overset{\rightarrow}{XO} + \overset{\rightarrow}{YO} = 2\overset{\rightarrow}{IO}$).

Giải chi tiết

Ta có: $\overset{\rightarrow}{AC} = \overset{\rightarrow}{AN} + \overset{\rightarrow}{NC}$ và $\overset{\rightarrow}{BD} = \overset{\rightarrow}{BN} + \overset{\rightarrow}{ND}$

$\overset{\rightarrow}{AC} + \overset{\rightarrow}{BD} = (\overset{\rightarrow}{AN} + \overset{\rightarrow}{BN}) + (\overset{\rightarrow}{NC} + \overset{\rightarrow}{ND})$

Vì $N$ là trung điểm của CD nên $\overset{\rightarrow}{NC} + \overset{\rightarrow}{ND} = \overset{\rightarrow}{0}$.

Do đó: $\overset{\rightarrow}{AC} + \overset{\rightarrow}{BD} = \overset{\rightarrow}{AN} + \overset{\rightarrow}{BN}$

Lại có $M$ là trung điểm của AB, theo tính chất trung điểm đối với điểm $N$, ta có:

$\overset{\rightarrow}{NA} + \overset{\rightarrow}{NB} = 2\overset{\rightarrow}{NM}$ $\left. \Rightarrow\overset{\rightarrow}{AN} + \overset{\rightarrow}{BN} = - 2\overset{\rightarrow}{NM} \right.$

Thay vào biểu thức trên, ta được: $\overset{\rightarrow}{AC} + \overset{\rightarrow}{BD} = - 2\overset{\rightarrow}{NM}$

Suy ra $k = - 2$.

Đáp án cần điền là: -2

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.