Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A(1;0;4)$ và $B( - 1;2;2)$. Xét đường thẳng $d$ nằm

Câu hỏi số 970545:

Vận dụng

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A(1;0;4)$ và $B( - 1;2;2)$. Xét đường thẳng $d$ nằm trong mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $AH = BK$, với H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B lên $d$. Gọi $M$ là trung điểm của HK, đoạn thẳng OM có độ dài ngắn nhất bằng $m$. Giá trị $m^{2}$ bằng (nhập đáp án vào ô trống).

Đáp án:

Đáp án đúng là: 2

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:970545

Phương pháp giải

Gọi A', B' là hình chiếu vuông góc của A, B lên mặt phẳng (Oxy).

Sử dụng định lý ba đường vuông góc và định lý Pytago để thiết lập mối quan hệ giữa các khoảng cách, chứng minh $B'K^{2} - A'H^{2} = 12$.

Sử dụng tính chất hình chiếu của trung điểm để chứng minh $B'M^{2} - A'M^{2} = 12$.

Tìm phương trình quỹ tích điểm M và tính khoảng cách ngắn nhất từ gốc tọa độ O đến tập hợp điểm đó để suy ra m.

Giải chi tiết

Hình chiếu vuông góc của $A(1;0;4)$ và $B( - 1;2;2)$ lên mặt phẳng $(Oxy)$ lần lượt là $A'(1;0;0)$ và $B'( - 1;2;0)$.

Ta có $AA'\bot(Oxy)$ nên $AA'\bot d$.

Kết hợp với giả thiết $AH\bot d$, suy ra $A'H\bot d$ (theo định lý ba đường vuông góc).

Tương tự, ta cũng có $B'K\bot d$.

Do đó, H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A', B' lên đường thẳng d.

Xét các tam giác vuông $\Delta AA'H$ và $\Delta BB'K$, theo định lý Pytago ta có:

$AH^{2} = A{A'}^{2} + A'H^{2} = 16 + A'H^{2}$

$BK^{2} = B{B'}^{2} + B'K^{2} = 4 + B'K^{2}$

Theo giả thiết $\left. AH = BK\Rightarrow AH^{2} = BK^{2} \right.$, suy ra:

$\left. 16 + A'H^{2} = 4 + B'K^{2}\Rightarrow B'K^{2} - A'H^{2} = 12\quad(*) \right.$

Gọi I là trung điểm của $\left. A'B'\Rightarrow I(0;1;0) \right.$.

Vì M là trung điểm của đoạn thẳng HK và H, K là hình chiếu vuông góc của A', B' lên d, nên theo tính chất hình chiếu, M chính là hình chiếu vuông góc của trung điểm I lên d.

Suy ra $IM\bot d$.

Xét các tam giác $\Delta A'HM$ vuông tại $H$ và $\Delta B'KM$ vuông tại K, ta có:

$A'H^{2} = A'M^{2} - HM^{2}$

$B'K^{2} = B'M^{2} - KM^{2}$

Vì M là trung điểm HK nên $HM = KM$. Thay vào (*) ta được:

$\left. (B'M^{2} - KM^{2}) - (A'M^{2} - HM^{2}) = 12\Rightarrow B'M^{2} - A'M^{2} = 12 \right.$

Gọi tọa độ của điểm M trong mặt phẳng $(Oxy)$ là $M(x;y;0)$, ta có:

$B'M^{2} = {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2}$

$A'M^{2} = {(x - 1)}^{2} + y^{2}$

Suy ra $(x^{2} + 2x + 1 + y^{2} - 4y + 4) - (x^{2} - 2x + 1 + y^{2}) = 12$

$\left. \Leftrightarrow 4x - 4y + 4 = 12\Leftrightarrow x - y - 2 = 0 \right.$

Vậy điểm M luôn nằm trên một đường thẳng $\Delta$ cố định trong mặt phẳng $(Oxy)$ có phương trình: $x - y - 2 = 0$.

Đoạn thẳng OM có độ dài ngắn nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ $O(0;0;0)$ lên đường thẳng $\Delta$.

Khoảng cách từ $O$ đến $\Delta$ là $OM_{\min} = d(O,\Delta) = \dfrac{|0 - 0 - 2|}{\sqrt{1^{2} + {( - 1)}^{2}}} = \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

Do đó $\left. m = \sqrt{2}\Rightarrow m^{2} = 2 \right.$.

Đáp án cần điền là: 2

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.