Một bức tường cao $2,5$ m cách chân một tòa nhà $6$ m. Tìm chiều

Câu hỏi số 970546:

Thông hiểu

Một bức tường cao $2,5$ m cách chân một tòa nhà $6$ m. Tìm chiều dài tối thiểu của chiếc thang đặt trên mặt đất, bắc qua bức tường và chạm đến tường tòa nhà. (Kết quả tính theo mét và làm tròn đến hàng đơn vị.)

Đáp án:

Đáp án đúng là: 12

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:970546

Phương pháp giải

Gọi $h = 2,5\text{m}$ là chiều cao bức tường, $d = 6\text{m}$ là khoảng cách từ bức tường đến tòa nhà.

Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi chiếc thang và mặt đất $\left( {0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}} \right)$.

Thiết lập hàm số biểu diễn chiều dài chiếc thang $L$ theo biến $\alpha$.

Sử dụng đạo hàm để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $L(\alpha)$ trên khoảng $\left( {0;\dfrac{\pi}{2}} \right)$.

Giải chi tiết

Gọi $L$ là chiều dài chiếc thang. Giả sử chiếc thang tạo với mặt đất một góc $\alpha$ $\left( {0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}} \right)$.

Khi đó, chiều dài chiếc thang được chia làm hai phần bởi bức tường:

Phần từ mặt đất đến đỉnh bức tường: $L_{1} = \dfrac{2,5}{\sin\alpha}$.

Phần từ đỉnh bức tường đến tường tòa nhà: $L_{2} = \dfrac{6}{\cos\alpha}$.

Tổng chiều dài chiếc thang là: $L(\alpha) = \dfrac{2,5}{\sin\alpha} + \dfrac{6}{\cos\alpha}$

Xét hàm số $f(\alpha) = \dfrac{2,5}{\sin\alpha} + \dfrac{6}{\cos\alpha}$ trên khoảng $\left( {0;\dfrac{\pi}{2}} \right)$.

Đạo hàm:

$f'(\alpha) = - \dfrac{2,5\cos\alpha}{\sin^{2}\alpha} + \dfrac{6\sin\alpha}{\cos^{2}\alpha} = \dfrac{6\sin^{3}\alpha - 2,5\cos^{3}\alpha}{\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha}$

Với $\tan\alpha = \sqrt[3]{\dfrac{5}{12}}$, ta tính được giá trị nhỏ nhất của $L$: $L_{min} = \left( {2,5^{\dfrac{2}{3}} + 6^{\dfrac{2}{3}}} \right)^{\dfrac{3}{2}}$

$L_{min} \approx {(1,842 + 3,302)}^{1,5} \approx {(5,144)}^{1,5} \approx 11,668\text{(m)}$.

Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, ta được $L \approx 12\text{m}$.

Đáp án cần điền là: 12

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.