Cho a, b là hai số thực dương phân biệt và khác 1 thỏa mãn $2\log_{a}b + \log_{b}a = 3$. Tính giá

Câu hỏi số 970547:

Vận dụng

Cho a, b là hai số thực dương phân biệt và khác 1 thỏa mãn $2\log_{a}b + \log_{b}a = 3$. Tính giá trị $\log_{ab^{2}}(a^{2}b)$. (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:

Đáp án đúng là: 5/4

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:970547

Phương pháp giải

Sử dụng công thức đổi cơ số: $\log_{b}a = \dfrac{1}{\log_{a}b}$.

Đặt ẩn phụ $t = \log_{a}b$ để đưa về phương trình bậc hai.

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn biểu thức: $\log_{x^{n}}y^{m} = \dfrac{m}{n}\log_{x}y$ (với các điều kiện xác định tương ứng).

Giải chi tiết

Điều kiện: $a,b > 0;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} a,b \ne 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} a \ne b$.

Đặt $t = \log_{a}b$. Vì $a \neq b$ nên $t \neq 1$. Vì $a,b \neq 1$ nên $t \neq 0$.

Khi đó, phương trình đã cho trở thành:

$2t + \dfrac{1}{t} = 3$

$\left. \Leftrightarrow 2t^{2} - 3t + 1 = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {t = 1\left( {ktm} \right)} \\ {t = \dfrac{1}{2}\left( {tm} \right)} \end{array} \right. \right.$

Với $t = \dfrac{1}{2}$, ta có $\left. \log_{a}b = \dfrac{1}{2}\Leftrightarrow b = a^{\dfrac{1}{2}}\Leftrightarrow a = b^{2} \right.$.

Thay $a = b^{2}$ vào biểu thức cần tính:

$P = \log_{ab^{2}}(a^{2}b) = \log_{b^{2} \cdot b^{2}}\left( {{(b^{2})}^{2} \cdot b} \right)$

$P = \log_{b^{4}}(b^{4} \cdot b) = \log_{b^{4}}(b^{5})$

$P = \dfrac{5}{4}\log_{b}b = \dfrac{5}{4}$

Đáp án cần điền là: 5/4

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.