Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol $(P):y = x^{2} + 3x + 4$. Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M( -

Câu hỏi số 970549:

Vận dụng

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol $(P):y = x^{2} + 3x + 4$. Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M( - 1;11)$ sao cho diện tích hình phẳng được giới hạn bởi $(P)$ và $d$ bằng 36. Đường thẳng $d$ tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?

Đáp án:

Đáp án đúng là: 72

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:970549

Phương pháp giải

Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $M( - 1;11)$ với hệ số góc $k$:$y = k(x - x_{M}) + y_{M}$.

Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $d$.

Để hai đồ thị giới hạn một hình phẳng thì phương trình hoành độ giao điểm phải có hai nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$.

Sử dụng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $y = ax^{2} + bx + c$ và đường thẳng: $S = \dfrac{\sqrt{\Delta^{3}}}{6a^{2}}$, trong đó $\Delta$ là biệt thức của phương trình hoành độ giao điểm.

Giải phương trình tìm $k$, từ đó suy ra phương trình đường thẳng $d$.

Tìm tọa độ giao điểm của $d$ với các trục Ox, Oy và tính diện tích tam giác vuông tạo thành.

Giải chi tiết

Gọi $k$ là hệ số góc của đường thẳng $d$.

Vì $d$ đi qua $M( - 1;11)$ nên phương trình của $d$ là: $\left. y = k(x + 1) + 11\Leftrightarrow y = kx + k + 11 \right.$

Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $d$ là:

$\left. x^{2} + 3x + 4 = kx + k + 11\Leftrightarrow x^{2} + (3 - k)x - (k + 7) = 0\quad(*) \right.$

Biệt thức của phương trình là:

$\Delta = {(3 - k)}^{2} - 4(1)\lbrack - (k + 7)\rbrack = k^{2} - 6k + 9 + 4k + 28 = k^{2} - 2k + 37$

Vì $k^{2} - 2k + 37 = {(k - 1)}^{2} + 36 > 0$ với mọi $k$, nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$ với mọi $k$.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P)$ và $d$ được tính theo công thức:

$S = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left| {(kx + k + 11) - ({x^2} + 3x + 4)} \right|} {\mkern 1mu} dx = \dfrac{{\sqrt {{\Delta ^3}} }}{{6{a^2}}}$

Theo giả thiết $S = 36$, ta có:

$\left. \dfrac{\sqrt{{(k^{2} - 2k + 37)}^{3}}}{6 \cdot 1^{2}} = 36\Leftrightarrow\sqrt{{(k^{2} - 2k + 37)}^{3}} = 216 \right.$

$\left. \Leftrightarrow{(k^{2} - 2k + 37)}^{3} = 216^{2} = {(6^{3})}^{2} = {(6^{2})}^{3} \right.$

$\left. \Leftrightarrow k^{2} - 2k + 37 = 36\Leftrightarrow k^{2} - 2k + 1 = 0\Leftrightarrow{(k - 1)}^{2} = 0\Leftrightarrow k = 1 \right.$

Với $k = 1$, phương trình đường thẳng $d$ là: $y = x + 12$.

Giao điểm của $d$ với trục Ox $(y = 0)$: $\left. x + 12 = 0\Rightarrow x = - 12 \right.$.

Gọi điểm đó là $\left. A( - 12;0)\Rightarrow OA = 12 \right.$.

Giao điểm của $d$ với trục Oy $(x = 0)$: $y = 0 + 12 = 12$.

Gọi điểm đó là $\left. B(0;12)\Rightarrow OB = 12 \right.$.

Diện tích tam giác OAB vuông tại $O$ là: $S_{\Delta OAB} = \dfrac{1}{2}OA \cdot OB = \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12 = 72$

Đáp án cần điền là: 72

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.