5.1. Cho tam giác ABC vuông tại A, biết $BC = 10\text{~cm}$, $\widehat{ABC} = 30^{{^\circ}}$. Tính độ dài

Câu hỏi số 970678:

Vận dụng

5.1. Cho tam giác ABC vuông tại A, biết $BC = 10\text{~cm}$, $\widehat{ABC} = 30^{{^\circ}}$. Tính độ dài cạnh AC. (Biết $\sin 30^{{^\circ}} = \dfrac{1}{2};\cos 30^{{^\circ}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2};\tan 30^{{^\circ}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$)

5.2. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). AD, BE, CF là ba đường cao của tam giác ABC cắt nhau tại H

a) Chứng minh tứ giác AFHE là tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Kẻ đường kính AM của đường tròn (O). Chứng minh $AD \cdot AM = AB \cdot AC$.

c) Gọi K là trung điểm của BC. Chứng minh: H, K, M thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:970678

Phương pháp giải

5.1. Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông (tỉ số lượng giác $\sin$).

5.2.

a) Áp dụng tính chất các điểm cùng nhìn một đoạn thẳng dưới góc vuông để chứng minh tứ giác nội tiếp.

b) Vẽ thêm đường kính, sử dụng tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn và góc nội tiếp cùng chắn một cung để chứng minh hai tam giác đồng dạng, từ đó suy ra tỉ số độ dài.

c) Chứng minh tứ giác là hình bình hành bằng dấu hiệu "tứ giác có các cặp cạnh đối song song", sau đó sử dụng tính chất đường chéo hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Giải chi tiết

5.1. Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông, ta có: $\sin\widehat{ABC} = \dfrac{AC}{BC}$

$\sin 30^{{^\circ}} = \dfrac{AC}{10}$

$\dfrac{1}{2} = \dfrac{AC}{10}$

$AC = 10 \cdot \dfrac{1}{2}$

$AC = 5\text{~(cm)}$

Vậy $AC = 5\left( {cm} \right)$

5.2.

a) Ta có $\angle AEH = 90^{0}$ nên $\Delta AEH$vuông tại E

Suy ra A, H, E cùng thuộc đường tròn đường kính AH

$\angle AFH = 90^{0}$ nên $\Delta AFH$ vuông tại F

Suy ra A, H, F cùng thuộc đường tròn đường kính AH

Vậy 4 điểm A, F, H, E cùng nội tiếp đường tròn hay tứ giác $AFHE$ nội tiếp đường tròn.

b) Ta có $\angle ABM = 90^{0}$ (góc nội tiếp chắn đường kính AM)

Xét hai tam giác $\Delta ABM$ và $\Delta ADC$ ta có:

$\angle ABM = \angle ADC = 90^{0}$

$\angle ACB = \angle AMB$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $AB$)

Vậy $\Delta ABM \sim \Delta ADC\left( {g.g} \right)$

Suy ra $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AM}{AC}$ hay $AD.AM = AB.AC$ (đpcm)

c) Ta có: $\left. \left\{ \begin{array}{l} {BH\bot AC} \\ {CM\bot AC} \end{array} \right.\Rightarrow BH//CM \right.$ (*)

Lại có $\left. \left\{ \begin{array}{l} {CH\bot AB} \\ {BM\bot AB} \end{array} \right.\Rightarrow CH//BM \right.$ (**)

Từ (*) và (**) suy ra tứ giác $BHCM$ là hình bình hành

Mà K là trung điểm của đường chéo BC nên K là trung điểm của đường chéo HM

Hay H, K, M thẳng hàng. (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link