Bác Quang xây nhà mới và muốn làm một cửa sổ như hình bên (phần nét liền), bao gồm: một

Câu hỏi số 970679:

Vận dụng

Bác Quang xây nhà mới và muốn làm một cửa sổ như hình bên (phần nét liền), bao gồm: một hình chữ nhật ghép với nửa hình tròn có tâm là trung điểm của cạnh hình chữ nhật. Bác dự định làm tổng độ dài đường viền của cửa sổ là 6m. Hỏi diện tích lớn nhất của cửa sổ là bao nhiêu?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:970679

Phương pháp giải

Thiết lập biểu thức tính diện tích cửa sổ theo một biến số (bán kính r). Sử dụng Bất đẳng thức Cauchy (AM-GM) cho hai số không âm để tìm giá trị lớn nhất của hàm số bậc hai.

Giải chi tiết

Gọi r (mét) là bán kính của nửa hình tròn phía trên. Khi đó, cạnh của hình chữ nhật chung với đường kính của nửa hình tròn có độ dài là 2r.

Gọi h (mét) là chiều cao của phần hình chữ nhật (hai cạnh bên).

Điều kiện: $r > 0$, $h > 0$.

Theo hình vẽ, đường viền của cửa sổ (phần nét liền) bao gồm: một cung tròn (nửa chu vi hình tròn), hai cạnh bên của hình chữ nhật và cạnh đáy của hình chữ nhật.

Tổng độ dài đường viền là: $L = \pi \cdot r + 2h + 2r = 6$

Biểu diễn 2h theo r: $2h = 6 - (\pi + 2)r$

Vì $h > 0$ nên $\left. 6 - (\pi + 2)r > 0\Rightarrow r < \dfrac{6}{\pi + 2} \right.$.

Diện tích S của cửa sổ là tổng diện tích hình chữ nhật và diện tích nửa hình tròn:

$S = (2r) \cdot h + \dfrac{1}{2} \cdot \pi r^{2}$

Thay $2h = 6 - (\pi + 2)r$ vào công thức trên, ta được:

$S = r \cdot \lbrack 6 - (\pi + 2)r\rbrack + \dfrac{1}{2}\pi r^{2}$

$S = 6r - (\pi + 2)r^{2} + \dfrac{1}{2}\pi r^{2}$

$S = 6r - \pi r^{2} - 2r^{2} + \dfrac{1}{2}\pi r^{2}$

$S = - \left( {2 + \dfrac{\pi}{2}} \right)r^{2} + 6r = - \left( \dfrac{4 + \pi}{2} \right)r^{2} + 6r$

Để áp dụng BĐT Cauchy dạng $ab \leq \left( \dfrac{a + b}{2} \right)^{2}$, ta đặt $k = 2 + \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{4 + \pi}{2}$.

Khi đó: $S = 6r - kr^{2} = r(6 - kr)$.

Để xuất hiện tổng hằng số khi áp dụng Cauchy, ta nhân thêm $k$ vào $r$:

$S = \dfrac{1}{k} \cdot (kr) \cdot (6 - kr)$

Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương kr và $(6 - kr)$, ta có:

$(kr) \cdot (6 - kr) \leq \left( \dfrac{kr + 6 - kr}{2} \right)^{2} = \left( \dfrac{6}{2} \right)^{2} = 9$

Suy ra $S \leq \dfrac{1}{k} \cdot 9 = \dfrac{9}{\dfrac{4 + \pi}{2}} = \dfrac{18}{4 + \pi}$

Dấu "=" xảy ra khi:

$\left. kr = 6 - kr\Rightarrow 2kr = 6\Rightarrow kr = 3\Rightarrow r = \dfrac{3}{k} = \dfrac{6}{4 + \pi} \right.$

Khi đó $2h = 6 - (\pi + 2) \cdot \dfrac{6}{4 + \pi} = \dfrac{6(4 + \pi) - 6(\pi + 2)}{4 + \pi} = \dfrac{12}{4 + \pi}$ (thỏa mãn $h > 0$).

Vậy diện tích lớn nhất của cửa sổ là $\dfrac{18}{4 + \pi} \approx 2,52\text{~(m}^{2})$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link