a) Có hai nhóm học sinh cùng đến một cửa hàng để mua hoa quả. Nhóm thứ nhất mua 3 kg táo và 5

Câu hỏi số 970813:

Vận dụng

a) Có hai nhóm học sinh cùng đến một cửa hàng để mua hoa quả. Nhóm thứ nhất mua 3 kg táo và 5 kg cam, tổng số tiền phải trả là 225 nghìn đồng. Nhóm thứ hai mua 4 kg táo và 2 kg cam, tổng số tiền phải trả là 160 nghìn đồng. Hãy tính giá tiền 1 kg táo và giá tiền 1 kg cam.

b) Một ô tô tải khởi hành từ thành phố A để đi đến thành phố B. Sau đó 36 phút, một ô tô con cũng xuất phát từ thành phố A để đi đến thành phố B trên cùng một tuyến đường với vận tốc lớn hơn vận tốc của ô tô tải là 15 km/h. Do vận tốc lớn hơn nên ô tô con đã đuổi kịp và đến thành phố B cùng lúc với ô tô tải. Giả thiết rằng vận tốc của mỗi xe là không đổi trên cả tuyến đường. Hãy tính vận tốc của mỗi xe, biết quãng đường giữa hai thành phố A và B là 154 km.

c) Cho phương trình $x^{2} - 5x + 1 = 0$ có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức: $P = \dfrac{1}{2 + \sqrt{23x_{1}^{2} - 1}} + \dfrac{3x_{2}^{2} + 7}{5x_{2} + 1}$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:970813

Phương pháp giải

a + b) Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình/phương trình. Gọi ẩn, đặt điều kiện, biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn và giải

b) Dùng định lí Vi-ét tính $x_{1} + x_{2}$ và $x_{1}x_{2}$. Hạ bậc biểu thức chứa $x_{1},x_{2}$ bậc cao thông qua phương trình ban đầu rồi mới thay số.

Giải chi tiết

a) Gọi x là giá tiền 1 kg táo (đơn vị: nghìn đồng), y là giá tiền 1 kg cam (đơn vị: nghìn đồng). Điều kiện: $x,y > 0$.

Nhóm thứ nhất mua 3 kg táo và 5 kg cam, tổng số tiền phải trả là 225 nghìn đồng nên ta có phương trình: $3x + 5y = 225$

Nhóm thứ hai mua 4 kg táo và 2 kg cam, tổng số tiền phải trả là 160 nghìn đồng nên ta có phương trình $4x + 2y = 160$

Từ đó có hệ phương trình:

$\left. \left\{ \begin{array}{l} {3x + 5y = 225} \\ {4x + 2y = 160} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {3x + 5y = 225} \\ {2x + y = 80} \end{array} \right. \right.$$\left. \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {3x + 5y = 225} \\ {y = 80 - 2x} \end{array} \right. \right.$

Thay $y = 80 - 2x$ vào phương trình đầu:

$3x + 5(80 - 2x) = 225$

$3x + 400 - 10x = 225$

$- 7x = - 175$

$x = 25$ (thỏa mãn)

Khi đó $y = 80 - 2 \cdot 25 = 30$ (thỏa mãn)

Vậy giá 1 kg táo là 25000 đồng, giá 1 kg cam là 30000 đồng.

b) Gọi vận tốc ô tô tải là x (km/h), điều kiện $x > 0$.

Vận tốc ô tô con là $x + 15$ (km/h).

Thời gian ô tô tải đi quãng đường AB là: $\dfrac{154}{x}$ (giờ).

Thời gian ô tô con đi quãng đường AB là: $\dfrac{154}{x + 15}$ (giờ).

Đổi 36 phút = 0,6 giờ.

Vì ô tô con xuất phát sau 36 phút nhưng đến cùng lúc với ô tô tải nên:

$\dfrac{154}{x} - \dfrac{154}{x + 15} = 0,6$

$154 \cdot (x + 15 - x) = 0,6x(x + 15)$

$2310 = 0,6x^{2} + 9x$

$0,6x^{2} + 9x - 2310 = 0$

$x^{2} + 15x - 3850 = 0$

$(x - 55)(x + 70) = 0$

Giải phương trình ta được $x = 55$ (thoả mãn) hoặc $x = - 70$ (loại) (km/h).

Vậy vận tốc ô tô tải là 55 km/h, vận tốc ô tô con là $55 + 15 = 70$ km/h.

c) Phương trình $x^{2} - 5x + 1 = 0$ có $\Delta = \left( {- 5} \right)^{2} - 4 = 21 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Theo hệ thức Vi-ét, ta có: $\left\{ \begin{array}{l} {x_{1} + x_{2} = 5} \\ {x_{1} \cdot x_{2} = 1} \end{array} \right.$

Vì $x_{1}$ là nghiệm nên $x_{1}^{2} - 5x_{1} + 1 = 0$ suy ra $x_{1}^{2} = 5x_{1} - 1$

Tương tự $x_{2}^{2} = 5x_{2} - 1$

Ta có ${(5x_{1} - 1)}^{2} = 25x_{1}^{2} - 10x_{1} + 1 = (23x_{1}^{2} - 1) + 2(x_{1}^{2} - 5x_{1} + 1) = 23x_{1}^{2} - 1$.

Do đó $\sqrt{23x_{1}^{2} - 1} = \sqrt{{(5x_{1} - 1)}^{2}} = \left| {5x_{1} - 1} \right| = 5x_{1} - 1$ (vì $5x_{1} - 1 = x_{1}^{2} \geq 0$).

Thay vào biểu thức $P$:

$P = \dfrac{1}{2 + 5x_{1} - 1} + \dfrac{3(5x_{2} - 1) + 7}{5x_{2} + 1} = \dfrac{1}{5x_{1} + 1} + \dfrac{15x_{2} + 4}{5x_{2} + 1}$

$P = \dfrac{1}{5x_{1} + 1} + 3 + \dfrac{1}{5x_{2} + 1} = 3 + \dfrac{5x_{2} + 1 + 5x_{1} + 1}{(5x_{1} + 1)(5x_{2} + 1)}$

$P = 3 + \dfrac{5(x_{1} + x_{2}) + 2}{25x_{1}x_{2} + 5(x_{1} + x_{2}) + 1}$

$P = 3 + \dfrac{5 \cdot 5 + 2}{25 \cdot 1 + 5 \cdot 5 + 1} = 3 + \dfrac{27}{51} = 3 + \dfrac{9}{17} = \dfrac{60}{17}$.

Vậy $P = \dfrac{60}{17}$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link