Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) và nội tiếp đường tròn (O).Các đường cao AD, BE và CF
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) và nội tiếp đường tròn (O).
Các đường cao AD, BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC, đường kính AL của đường tròn (O) cắt ME tại N.
a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp.
b) Chứng minh $\widehat{BAD} = \widehat{LAC}$ và $AE.AB = 2AN.OM$.
c) Tia AM cắt EF tại K. Gọi I là chân đường vuông góc hạ từ K xuống BC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADI cắt AB và AC tương ứng tại P và Q (P, Q khác A). Chứng minh K là trực tâm của tam giác APQ.
Quảng cáo
Dùng dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp (tổng hai góc đối, hai góc cùng nhìn một cạnh). Dùng tính chất tam giác đồng dạng và đường trung bình.
a)
Vì BE, CF là các đường cao nên $\angle AEH = \angle AFH = 90^{0}$
$\Delta AEH$ vuông tại E nên A, H, E cùng thuộc đường tròn đường kính AH (1)
$\Delta AHF$ vuông tại F nên A, H, F cùng thuộc đường tròn đường kính AH (2)
Từ (1), (2) ta được A, H, E, F cùng thuộc đường tròn đường kính AH hay AEHF
b) Ta có: $\angle BAD + \angle ABD = 90^{{^\circ}}$;
$\angle LAC + \angle ALC = 90^{{^\circ}}$ (do $\Delta ALC$ nội tiếp đường tròn (O) đường kính AL nên $\Delta ALC$ vuông tại C)
Mà $\angle ABD = \angle ALC$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $\overset{\frown}{AC}$)
Do đó $\angle BAD = \angle LAC$
Ta có: $\left. \left. \begin{array}{l} {BH\bot AC} \\ {LC\bot AC} \end{array} \right\}\Rightarrow BH//CL \right.$ (3)
Tương tự $CH//BL$ (4)
Từ (3) và (4) ta suy ra BHCL là hình bình hành
Mà M là trung điểm BC nên M là trung điểm HL
Do đó H, M, L thẳng hàng
Xét $\Delta AHL$ có M là trung điểm HL; O là trung điểm AL
Do đó OM là đường trung bình $\Delta AHL$
Suy ra $AH = 2OM$
Ta có EM là trung tuyến của $\Delta BEC$ vuông tại E
Do đó $ME = MC$ hay $\Delta MEC$ cân tại M
Suy ra $\angle MEC = \angle MCE$
Mà $\angle MCE + \angle EBC = 90^{{^\circ}}$, $\angle HBD + \angle BHD = 90^{{^\circ}}$ nên $\angle MEC = \angle BHD$
Khi đó $\angle AEN = \angle AHB$ (hai góc kề bù của cặp góc $\angle MEC = \angle BHD$)
Mà $\angle BAH = \angle NAE$ (chứng minh trên) nên $\left. \Delta AHB \right.\sim\Delta AEN$ (g.g)
$\left. \Rightarrow\dfrac{AH}{AE} = \dfrac{AB}{AN}\Rightarrow AE \cdot AB = AH \cdot AN = 2OM \cdot AN \right.$ (đpcm).
c)
Gọi $G$ là trung điểm của $EF$, $S$ là giao điểm của $AG$ và $BC$
Vì $\Delta AEF \backsim \,\Delta ABC$ nên $\dfrac{AF}{AC} = \dfrac{EF}{BC} = \dfrac{FG}{CI}$
Từ đó ta được $\Delta AFG \backsim \Delta ACM\,\,\left( {c.g.c} \right)$ nên $\angle AGF = \angle AMC$
Suy ra $\angle AGK = \angle AMS$
Suy ra $\Delta AGK \backsim \Delta AMS\,\,\left( {g.g} \right)$ nên $\dfrac{AG}{AM} = \dfrac{AK}{AS}$
Từ đây ta được $\Delta AKS \backsim \Delta AGM\,\,\left( {c.g.c} \right)$
Do đó $\angle ASK = \angle AMG$
Gọi $J$ là giao của $KS$ và $GM$
Khi đó $\angle JSG = \angle JMK$ nên $\Delta JSG \backsim \Delta JMK\,\,\left( {g.g} \right)$
Do đó $\dfrac{JS}{JM} = \dfrac{JG}{JK}$, dẫn tới $\Delta JSM \backsim \Delta JGK\,\,\left( {c.g.c} \right)$
Suy ra $\angle JSM = \angle JGK$ (1)
Vì $ME = MF,\,\, GE = GF$ nên $MG$ là trung trực của $EF$
Do đó $MG\bot EF$ hay $\angle MGE = 90{^\circ}$ (2)
Từ (1) và (2) ta được $KS\bot BC$ hay $S \equiv I$
Vậy AI cắt EF tại trung điểm G của EF
Ta có $\Delta AFG \backsim \Delta ACM\,\,\left( {cmt} \right)$ suy ra $\angle FAG = \angle MAC$
Suy ra $\angle FAK = \angle IAC$ (do cùng cộng thêm $\angle IAM$)
Kết hợp với $\angle AFK = \angle ACI$ suy ra $\left. \Delta FAK \right.\sim\Delta CAI\left( {g.g} \right)$
Khi đó $\dfrac{FA}{AC} = \dfrac{FK}{CI}$
Mà $\dfrac{FA}{AC} = \dfrac{EF}{BC}\left( {\left. do\,\,\,\Delta AEF \right.\sim\Delta ACB} \right)$ nên $\dfrac{FK}{CI} = \dfrac{EF}{BC}$ hay $\dfrac{EK}{EF} = \dfrac{CI}{CB}$
Mà $IP \parallel CF$ (do cùng vuông góc AB) nên $\dfrac{CI}{CB} = \dfrac{FP}{FB}$
Suy ra $\left. \dfrac{FK}{EF} = \dfrac{FP}{FB}\Rightarrow PK \parallel BE \right.$
Mà $\left. BE\bot AC\Rightarrow PK\bot AC \right.$. Hay $PK\bot AQ$
Chứng minh tương tự ta được $\left. QK \parallel CF\Rightarrow QK\bot AP \right.$
Vậy K là trực tâm của $\Delta ABC$
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
