a) Quả bóng bàn sử dụng trong thi đấu quốc tế là loại bóng nhựa Poly cao cấp, thân thiện

Câu hỏi số 970815:

Vận dụng

a) Quả bóng bàn sử dụng trong thi đấu quốc tế là loại bóng nhựa Poly cao cấp, thân thiện với môi trường, độ bền cao và có dạng hình cầu (hình vẽ). Biết rằng đường kính quả bóng bàn là 4 cm. Tính thể tích quả bóng bàn đó.

b) Người ta thiết kế một vật trang trí hình trụ bằng một loại chất liệu trong suốt, bên trong có một hình nón màu sắc rực rỡ. Biết rằng đỉnh hình nón là tâm đáy trên của hình trụ, đáy hình nón trùng với đáy dưới của hình trụ và đường sinh hình nón bằng 6 cm (tham khảo hình vẽ). Hãy tìm giá trị lớn nhất của thể tích vật trang trí đó.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:970815

Phương pháp giải

a) Dùng công thức tính thể tích hình cầu $V = \dfrac{4}{3}\pi R^{3}$.

b) Lập hàm số tính thể tích hình trụ theo một biến. Dùng Bất đẳng thức AM-GM để đánh giá giá trị lớn nhất.

Giải chi tiết

a) Bán kính của quả bóng bàn hình cầu là: $R = \dfrac{d}{2} = \dfrac{4}{2} = 2\text{~(cm)}$

Thể tích của quả bóng bàn là: $V = \dfrac{4}{3}\pi R^{3} = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 2^{3} = \dfrac{32}{3}\pi \approx 33,51\text{~(cm}^{3}\text{)}$

b) Gọi bán kính đáy của hình trụ (cũng là của hình nón) là $R\text{~(cm)}$, với $0 < R < 6$.

Gọi chiều cao của hình trụ (cũng là chiều cao của hình nón) là $h\text{~(cm)}$, với $0 < h < 6$

Xét hình nón, theo định lý Pythagore ta có mối liên hệ giữa đường sinh $l$, bán kính $R$ và chiều cao $h$ ta có: $\left. R^{2} + h^{2} = l^{2}\Rightarrow R^{2} + h^{2} = 6^{2}\Rightarrow R^{2} = 36 - h^{2} \right.$

Thể tích của vật trang trí hình trụ là $V_{tru} = \pi.R^{2}.h = \pi.(36 - h^{2}).h$

$V_{\text{tru}}^{2} = \pi^{2} \cdot {(36 - h^{2})}^{2} \cdot h^{2}$

$V_{\text{tru}}^{2} = \pi^{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot (36 - h^{2}) \cdot (36 - h^{2}) \cdot 2h^{2}$

Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương là $(36 - h^{2}),(36 - h^{2})$ và $2h^{2}$, ta có:

$(36 - h^{2}) \cdot (36 - h^{2}) \cdot 2h^{2} \leq \left( \dfrac{36 - h^{2} + 36 - h^{2} + 2h^{2}}{3} \right)^{3}$

${(36 - h^{2})}^{2} \cdot 2h^{2} \leq \left( \dfrac{72}{3} \right)^{3} = 24^{3} = 13824$

Suy ra $V_{\text{tru}}^{2} \leq \pi^{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 13824 = 6912\pi^{2}$

Suy ra: $V_{\text{tru}} \leq \sqrt{6912\pi^{2}} = 48\pi\sqrt{3}$

Dấu “=” xảy ra khi $\left. 36 - h^{2} = 2h^{2}\Rightarrow 3h^{2} = 36\Rightarrow h^{2} = 12\Rightarrow h = 2\sqrt{3}\text{~(TM)} \right.$

Khi đó, $\left. R^{2} = 36 - 12 = 24\Rightarrow R = 2\sqrt{6}\text{~(cm)} \right.$.

Vậy giá trị lớn nhất của thể tích vật trang trí là $48\pi\sqrt{3}\text{~(cm}^{3}\text{)}$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link