Xét các số thực dương $x,y$ thoả mãn $x + 6y \leq \dfrac{5}{2}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

Câu hỏi số 970991:

Vận dụng

Xét các số thực dương $x,y$ thoả mãn $x + 6y \leq \dfrac{5}{2}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 3x + 3y + \dfrac{4}{x} + \dfrac{9}{y}.$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:970991

Phương pháp giải

Tách biểu thức $P$ thành các nhóm số hạng sao cho mỗi nhóm có thể áp dụng bất đẳng thức Cô-si và sử dụng giả thiết $x + 6y \leq \dfrac{5}{2}$ để tìm giá trị nhỏ nhất.

Giải chi tiết

Với x, y là các số thực dương, ta có:

$P = 3x + 3y + \dfrac{4}{x} + \dfrac{9}{y} = \left( {16x + \dfrac{4}{x}} \right) + \left( {81y + \dfrac{9}{y}} \right) - 13x - 78y$

$P = \left( {16x + \dfrac{4}{x}} \right) + \left( {81y + \dfrac{9}{y}} \right) - 13(x + 6y)$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số thực dương $16x$ và $\dfrac{4}{x}$, ta có:

$16x + \dfrac{4}{x} \geq 2\sqrt{16x \cdot \dfrac{4}{x}} = 2\sqrt{64} = 16$ (1)

Dấu bằng xảy ra khi $16x = \dfrac{4}{x}$ hay $x = \dfrac{1}{2}$.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số thực dương $81y$ và $\dfrac{9}{y}$, ta có:

$81y + \dfrac{9}{y} \geq 2\sqrt{81y \cdot \dfrac{9}{y}} = 2\sqrt{729} = 54$ (2)

Dấu bằng xảy ra khi $81y = \dfrac{9}{y}$ hay $y = \dfrac{1}{3}$ (do $y > 0$).

Mặt khác theo giả thiết $x + 6y \leq \dfrac{5}{2}$, ta suy ra:

$- 13(x + 6y) \geq - 13 \cdot \dfrac{5}{2} = - \dfrac{65}{2}$ (3)

Cộng vế với vế các bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được:

$\left( {16x + \dfrac{4}{x}} \right) + \left( {81y + \dfrac{9}{y}} \right) - 13(x + 6y) \geq 16 + 54 - \dfrac{65}{2} = \dfrac{75}{2}$

Hay $P \geq \dfrac{75}{2}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: $\left. \left\{ \begin{array}{l} {x = \dfrac{1}{2}} \\ {y = \dfrac{1}{3}} \\ {x + 6y = \dfrac{5}{2}} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {x = \dfrac{1}{2}} \\ {y = \dfrac{1}{3}} \end{array} \right. \right.$ (thỏa mãn $x,y > 0$).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là $\dfrac{75}{2}$ khi $x = \dfrac{1}{2}$ và $y = \dfrac{1}{3}$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link