Cho hình vuông ABCD. Gọi $S_{1}$ là diện tích phần giao của hai nửa đường tròn đường kính AB

Câu hỏi số 971113:

Vận dụng

Cho hình vuông ABCD. Gọi $S_{1}$ là diện tích phần giao của hai nửa đường tròn đường kính AB và AD, $S_{2}$ là diện tích phần còn lại của hình vuông nằm ngoài hai nửa đường tròn nêu trên (như Hình vẽ 1, $S_{1}$ là diện tích phần gạch chéo, $S_{2}$ là diện tích phần chấm). Trong miền chấm có diện tích $S_{2}$ người ta vẽ một hình tròn tiếp xúc với hai cạnh của hình vuông và tiếp xúc ngoài với hai nửa đường tròn đường kính AB, AD (như Hình vẽ 2). Biết $S_{1} = \dfrac{\pi - 2}{8}$, diện tích phần chấm còn lại của $S_{2}$ ở ngoài miền hình tròn là.

A. $\dfrac{6 - (8 - 4\sqrt{3})\pi}{16}$

B. $\dfrac{6 - (8 - 4\sqrt{3})\pi}{8}$

C. $\dfrac{6 - (56 - 32\sqrt{3})\pi}{16}$

D. $\dfrac{6 - (57 - 32\sqrt{3})\pi}{8}$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:971113

Phương pháp giải

Tính cạnh của hình vuông thông qua diện tích $S_{1}$ đã cho.

Tính diện tích $S_{2}$ bằng cách lấy diện tích hình vuông trừ đi diện tích hai nửa hình tròn chiếm chỗ (sử dụng công thức hợp của hai tập hợp).

Sử dụng định lý Pythagore để thiết lập phương trình tìm bán kính $r$ của hình tròn nhỏ dựa trên tính chất tiếp xúc.

Tính diện tích hình tròn nhỏ, sau đó lấy $S_{2}$ trừ đi diện tích hình tròn nhỏ để được kết quả.

Giải chi tiết

Gọi cạnh hình vuông ABCD là $a$ ($a > 0$). Bán kính của các nửa đường tròn là $R = \dfrac{a}{2}$.

Phần giao nhau $S_{1}$ của hai nửa đường tròn được tạo thành từ hai hình viên phân bằng nhau (được chia bởi đường chéo của hình vuông).

Diện tích của một hình viên phân (tạo bởi cung phần tư đường tròn bán kính $R$ và dây cung tương ứng) là:

$S_{vp} = \dfrac{1}{4}\pi R^{2} - \dfrac{1}{2}R^{2} = R^{2}\left( \dfrac{\pi - 2}{4} \right)$.

Diện tích $S_{1} = 2 \cdot S_{vp} = R^{2}\left( \dfrac{\pi - 2}{2} \right) = \left( \dfrac{a}{2} \right)^{2} \cdot \dfrac{\pi - 2}{2} = \dfrac{a^{2}(\pi - 2)}{8}$.

Theo đề bài, $S_{1} = \dfrac{\pi - 2}{8}$, suy ra $\left. \dfrac{a^{2}(\pi - 2)}{8} = \dfrac{\pi - 2}{8}\Rightarrow a^{2} = 1\Rightarrow a = 1 \right.$.

Vậy hình vuông có cạnh bằng 1.

Diện tích của mỗi nửa đường tròn là: $\dfrac{1}{2}\pi R^{2} = \dfrac{1}{2}\pi\left( \dfrac{1}{2} \right)^{2} = \dfrac{\pi}{8}$.

Phần diện tích hình vuông bị chiếm bởi hai nửa đường tròn là:

$S_{chiem} = 2 \cdot \dfrac{\pi}{8} - S_{1} = \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\pi - 2}{8} = \dfrac{2\pi - \pi + 2}{8} = \dfrac{\pi + 2}{8}$.

Diện tích $S_{2}$ là: $S_{2} = S_{ABCD} - S_{chiem} = 1 - \dfrac{\pi + 2}{8} = \dfrac{6 - \pi}{8}$.

Gọi hình tròn nhỏ có tâm $I$ và bán kính $r$. Do hình tròn này tiếp xúc với BC và CD nên $I$ nằm trên đường chéo AC.

Khoảng cách từ $I$ đến các cạnh BC, CD đều bằng $r$.

Suy ra khoảng cách từ $I$ đến các cạnh AB và AD đều bằng $1 - r$.

Kẻ IH vuông góc với AB tại $H$. Ta có $IH = 1 - r$ và $AH = 1 - r$.

Gọi $O_{1}$ là tâm của nửa đường tròn đường kính AB, ta có $O_{1}$ là trung điểm của AB nên $AO_{1} = 0,5$.

Suy ra $\left. O_{1}H = \middle| AH - AO_{1} \middle| = \middle| 1 - r - 0,5 \middle| = \middle| 0,5 - r \right|$.

Vì hình tròn $(I)$ tiếp xúc ngoài với nửa đường tròn $(O_{1})$ bán kính $R = 0,5$ nên $IO_{1} = r + 0,5$.

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông $IHO_{1}$:

$IO_{1}^{2} = IH^{2} + O_{1}H^{2}$

$\left. \Rightarrow{(r + 0,5)}^{2} = {(1 - r)}^{2} + {(0,5 - r)}^{2} \right.$

$\left. \Rightarrow r^{2} + r + 0,25 = 1 - 2r + r^{2} + 0,25 - r + r^{2} \right.$

$\left. \Rightarrow r^{2} - 4r + 1 = 0 \right.$.

Giải phương trình bậc hai, ta được $r = 2 - \sqrt{3}$ (nhận do $r < 1$) hoặc $r = 2 + \sqrt{3}$ (loại).

Diện tích của hình tròn nhỏ là:

$S_{3} = \pi r^{2} = \pi{(2 - \sqrt{3})}^{2} = \pi(7 - 4\sqrt{3})$.

Diện tích phần chấm còn lại của $S_{2}$ ở ngoài miền hình tròn là:

$S = S_{2} - S_{3} = \dfrac{6 - \pi}{8} - \pi(7 - 4\sqrt{3})$

$S = \dfrac{6 - \pi - 8\pi(7 - 4\sqrt{3})}{8} = \dfrac{6 - \pi - 56\pi + 32\sqrt{3}\pi}{8} = \dfrac{6 - (57 - 32\sqrt{3})\pi}{8}$.

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link