Cho tam giác nhọn ABC (AB < BC < AC) nội tiếp đường tròn (O). Ba đường cao AM, BN, CP của tam
Cho tam giác nhọn ABC (AB < BC < AC) nội tiếp đường tròn (O). Ba đường cao AM, BN, CP của tam giác ABC đồng quy tại điểm H. Gọi K, I tương ứng là trung điểm của đoạn thẳng AB, CH.
a) Chứng minh rằng, các điểm H, M, C, N cùng thuộc một đường tròn;
b) Chứng minh rằng, KM là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CH;
c) Đường tròn đường kính CH cắt đường tròn (O) tại điểm Q ($Q \neq C$). Chứng minh rằng, $HQ \cdot HK = 2HI \cdot HP$.
Quảng cáo
a) Sử dụng tính chất: Các điểm cùng nhìn một đoạn thẳng dưới một góc vuông thì cùng nằm trên đường tròn đường kính là đoạn thẳng đó.
b) Vận dụng tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông để suy ra các tam giác cân, kết hợp với các góc phụ nhau và đối đỉnh để chứng minh $\angle KMI = 90^{{^\circ}}$, từ đó suy ra tiếp tuyến.
c) Vẽ thêm đường kính, sử dụng tính chất tứ giác có hai cặp cạnh song song (hình bình hành) để chứng minh 3 điểm thẳng hàng. Kết hợp chứng minh hai tam giác vuông đồng dạng để suy ra hệ thức về cạnh.
a) $\Delta ABC$ có BN, AM là đường cao nên $\angle HNC = HMC = 90^{0}$
Vì $\Delta HNC$ vuông tại N nên H, N, C cùng thuộc đường tròn đường kính HC (1)
Vì $\Delta HMC$ vuông tại M nên H, M, C cùng thuộc đường tròn đường kính HC (2)
Từ (1), (2) ta suy ra H, M, C, N cùng thuộc đường tròn đường kính HC
b) Ta có: $\angle PAH + \angle AHP = 90^{{^\circ}}$
$\angle MHC + \angle MCH = 90^{{^\circ}}$
$\angle AHP = \angle MHC$ (2 góc đối đỉnh)
Do đó $\angle PAH = \angle MCH$ (1)
Vì $\Delta AMB$ vuông tại M, MK là trung tuyến nên $KA = KM = KB$
Do đó $\Delta KAM$ cân tại K nên $\angle KAM = \angle KMA$ (2)
Tương tự $\angle MCI = \angle IMC$ (3)
Mặt khác: $\angle AMI + \angle IMC = \angle AMC = 90^{{^\circ}}$ (4)
Từ (1), (2), (3) và (4) ta được $\angle KMI = 90^{{^\circ}}$
Suy ra KM là tiếp tuyến của (I) (đpcm)
c) Kẻ đường kính CD của (O)
Khi đó $\angle DAC = 90^{{^\circ}}$ hay $DA\bot AC$
mà $BH\bot AC$ nên $BH \parallel DA$ (1)
Tương tự $AH \parallel BD$ (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra ADBH là hình bình hành
Mà K là trung điểm của AB nên K cũng là trung điểm DH
Hay H, K, D thẳng hàng. (5)
Vì $\Delta CQH$ nội tiếp (I) đường kính CH nên $\angle CQH = 90^{{^\circ}}$ (3)
Vì $\Delta CQD$ nội tiếp (O) đường kính CD nên $\angle CQD = 90^{{^\circ}}$ (4)
Từ (3) và (4) ta suy ra Q, H, D thẳng hàng (6)
Từ (5), (6) ta suy ra K, H, Q thẳng hàng.
Xét $\Delta KHP$ và $\Delta CHQ$ có:
$\angle KHP = \angle CHQ$ (2 góc đối đỉnh)
$\angle KPH = \angle CQH = 90^{{^\circ}}$
Do đó $\left. \Delta KHP \right.\sim\Delta CHQ$ (g.g)
Suy ra $\dfrac{KH}{CH} = \dfrac{HP}{HQ}$ hay $HK.HQ = HP.HC = 2HI.HP$ (đpcm)
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
