Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) có các đường cao AD, BE cắt nhau tại H. Gọi K là trung điểm của
Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) có các đường cao AD, BE cắt nhau tại H. Gọi K là trung điểm của đoạn AH. Qua điểm K vẽ đường thẳng vuông góc với BK, đường thẳng này cắt AC tại điểm M.
a) Chứng minh 4 điểm B, K, E, M cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh $\angle KMB$ $= \angle ACB$.
c) Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC, kẻ đường kính BN của đường tròn (O). Chứng minh tam giác BKM đồng dạng với tam giác BAN và đường thẳng OM đi qua trung điểm của đoạn NC.
Quảng cáo
a) Sử dụng tính chất của đường tròn đường kính: các điểm nhìn một đoạn thẳng dưới góc vuông cùng nằm trên đường tròn đường kính đoạn thẳng đó.
b) Sử dụng tính chất của tứ giác nội tiếp và tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông để chỉ ra các góc bằng nhau thông qua góc trung gian.
c) Sử dụng trường hợp đồng dạng góc-góc. Chứng minh cặp tam giác phụ đồng dạng để suy ra tỉ số và các góc tương ứng, từ đó chứng minh $OM \parallel BC$. Cuối cùng, sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác để kết luận.
a) Theo giả thiết, đường thẳng qua K vuông góc với BK tại K, nên $\angle BKM = 90^{{^\circ}}$.
Suy ra điểm K thuộc đường tròn đường kính BM (1).
Vì BE là đường cao của tam giác ABC nên $BE\bot AC$.
Mà $M \in AC$ nên $BE\bot EM$, suy ra $\angle BEM = 90^{{^\circ}}$.
Suy ra điểm E thuộc đường tròn đường kính BM (2).
Từ (1) và (2), ta có 4 điểm B, K, E, M cùng thuộc một đường tròn đường kính BM.
b) Vì tứ giác BKEM nội tiếp (theo câu a) nên $\angle KMB = \angle KEB$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung KB) (3).
Xét tam giác AHE vuông tại E (do $BE\bot AC$), có EK là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AH (vì K là trung điểm của đoạn AH).
Theo tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông, ta có $EK = KA = KH = \dfrac{1}{2}$ AH.
Vì $KE = KH$ nên tam giác KEH cân tại K, suy ra $\angle KEB = \angle KHE$ (hay $\angle KEB = \angle AHE$) (4).
Trong tam giác vuông ADC (vuông tại D):
$\left. \angle ACD + \angle DAC = 90^{{^\circ}}\Rightarrow\angle ACB = 90^{{^\circ}} - \angle DAC \right.$.
Trong tam giác vuông AHE (vuông tại E):
$\left. \angle AHE + \angle HAE = 90^{{^\circ}}\Rightarrow\angle AHE = 90^{{^\circ}} - \angle DAC \right.$.
Từ đó suy ra $\angle AHE = \angle ACB$ (5).
Từ (3), (4) và (5), ta có: $\angle KMB = \angle KEB = \angle AHE = \angle ACB$.
Vậy $\angle KMB = \angle ACB$ (đpcm).
c) Xét đường tròn (O), ta có $\angle ANB = \angle ACB$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB).
Mà theo câu b, $\angle KMB = \angle ACB$, suy ra $\angle KMB = \angle ANB$.
Mặt khác, BN là đường kính của đường tròn (O) nên $\angle BAN = 90^{{^\circ}}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Xét $\Delta BKM$ và $\Delta BAN$ có:
+ $\angle BKM = \angle BAN = 90^{{^\circ}}$
+ $\angle KMB = \angle ANB$ (chứng minh trên)
$\left. \Rightarrow\Delta BKM \right.\sim\Delta BAN$ (g.g) (đpcm).
Gọi I là trung điểm của AB, J là giao điểm của OM và NC.
Từ $\left. \Delta BKM \right.\sim\Delta BAN$ suy ra $\angle KBM = \angle ABN$ suy ra $\angle ABK = \angle NBM$.
Mà $\dfrac{KB}{BM} = \dfrac{AB}{BN}$ (do $\left. \Delta BKM \right.\sim\Delta BAN$) nên suy ra $\left. \Delta AKB \right.\sim\Delta NMB$ (c.g.c).
Suy ra $\angle BAK = \angle BNM$ và $\dfrac{AB}{NB} = \dfrac{AK}{MN}$.
Do đó $\dfrac{AB}{NB} = \dfrac{2AI}{2ON} = \dfrac{AI}{ON}$ (vì I là trung điểm AB và O là trung điểm BN).
Khi đó $\left. \Delta AKI \right.\sim\Delta NMO$ (c.g.c) $\left. \Rightarrow\angle AIK = \angle NOM \right.$ (6).
Lại có IK là đường trung bình của tam giác AHB nên $IK \parallel HB$.
Suy ra $\angle AIK = \angle ABH$ (hai góc đồng vị).
Mà $\angle ABH + \angle BAE = 90^{{^\circ}}$; $\angle BAE = \angle BNC$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC)
Và $\angle BNC + \angle NBC = 90^{{^\circ}}$ nên suy ra $\angle ABH = \angle NBC$ (7).
Từ (6) và (7) suy ra $\angle$NOM $= \angle$NBC nên OM $\parallel$ BC (hai góc ở vị trí đồng vị).
Trong tam giác NBC, có O là trung điểm của BN và OJ $\parallel$ BC (J $\in$ NC), suy ra OJ là đường trung bình của tam giác NBC.
Suy ra J là trung điểm của NC hay đường thẳng OM đi qua trung điểm của đoạn NC.
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
