Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Hình vẽ bên mô tả hiệu suất làm việc của hai công nhân tại một

Câu hỏi số 972106:
Vận dụng

Hình vẽ bên mô tả hiệu suất làm việc của hai công nhân tại một nhà máy trong thời gian 6 giờ. Công nhân A đang sản xuất với hiệu suất $Q_1'(t)=-2t^2+4t+58$ sản phẩm mỗi giờ, trong khi công nhân B đang sản xuất với hiệu suất $Q_2'(t)=53+at$ sản phẩm mỗi giờ ($a \in \mathbb{R}$). Biết rằng hàm $Q_1(t)$ và $Q_2(t)$ mô phỏng số lượng sản phẩm làm được của công nhân A và công nhân B sau t giờ.

Đúng Sai
a) Hiệu suất làm việc cực đại của công nhân A là 60 sản phẩm mỗi giờ.
b) Giá trị $a=-3$.
c) Sau 6 giờ làm việc, công nhân B hoàn thành được 228 sản phẩm.
d) Sau 6 giờ làm việc, số sản phẩm hoàn thành của công nhân A nhiều hơn số sản phẩm hoàn thành của công nhân B.

Đáp án đúng là: Đ; S; Đ; Đ

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:972106
Phương pháp giải

Sử dụng đạo hàm hoặc tìm tọa độ đỉnh của parabol để xác định giá trị lớn nhất của hàm số bậc hai.

Quan sát đồ thị để xác định giao điểm của hai đồ thị $Q_1'(t)$ và $Q_2'(t)$, từ đó thay tọa độ điểm vào phương trình để tìm tham số A.

Sử dụng ứng dụng của tích phân: Nếu biết tốc độ/hiệu suất thay đổi $Q'(t)$, thì tổng lượng sản phẩm làm được trong khoảng thời gian từ $t_1$ đến $t_2$ là $\int_{t_1}^{t_2} Q'(t)dt$.

Giải chi tiết

a) Hiệu suất làm việc của công nhân A là một hàm bậc hai: $Q_1'(t) = -2t^2 + 4t + 58$.

Parabol có hệ số $a = -2 < 0$ nên bề lõm hướng xuống dưới, hàm số đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh.

Hoành độ đỉnh: $t = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-2)} = 1$.

Giá trị lớn nhất là: $Q_1'(1) = -2 \cdot (1)^2 + 4 \cdot 1 + 58 = 60$.

Vậy hiệu suất làm việc cực đại của công nhân A là $60$ sản phẩm mỗi giờ. Phát biểu a) Đúng.

b) Dựa vào đồ thị, ta thấy hai đường biểu diễn $Q_1'(t)$ và $Q_2'(t)$ cắt nhau tại điểm có hoành độ $t = 5$.

Nghĩa là tại thời điểm $t = 5$, hiệu suất của hai công nhân bằng nhau: $Q_1'(5) = Q_2'(5)$.

Ta có: $Q_1'(5) = -2 \cdot 5^2 + 4 \cdot 5 + 58 = -50 + 20 + 58 = 28$.

Suy ra: $Q_2'(5) = 28 \Leftrightarrow 53 + a \cdot 5 = 28 \Leftrightarrow 5a = -25 \Leftrightarrow a = -5$.

Vậy giá trị của A là -5, không phải -3. Phát biểu b) Sai.

c) Với $a = -5$, hiệu suất của công nhân B là $Q_2'(t) = 53 - 5t$.

Số sản phẩm công nhân B hoàn thành sau 6 giờ là:

$Q_2 = \int_{0}^{6} Q_2'(t)dt = \int_{0}^{6} (53 - 5t)dt = \left( 53t - \frac{5t^2}{2} \right) \bigg|_{0}^{6} = 53 \cdot 6 - \frac{5 \cdot 6^2}{2} = 318 - 90 = 228$ (sản phẩm).

Vậy sau $6$ giờ làm việc, công nhân B hoàn thành được $228$ sản phẩm. Phát biểu c) Đúng.

d) Số sản phẩm công nhân A hoàn thành sau 6 giờ là:

$Q_1 = \int_{0}^{6} Q_1'(t)dt = \int_{0}^{6} (-2t^2 + 4t + 58)dt = \left( -\frac{2t^3}{3} + 2t^2 + 58t \right) \bigg|_{0}^{6}$

$Q_1 = -\frac{2 \cdot 6^3}{3} + 2 \cdot 6^2 + 58 \cdot 6 = -144 + 72 + 348 = 276$ (sản phẩm).

Vì 276 > 228 nên số sản phẩm hoàn thành của công nhân A nhiều hơn công nhân B. Phát biểu d) Đúng.

Đáp án cần chọn là: Đ; S; Đ; Đ

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn