Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Cho hàm số $y = f(x) = \frac{x^2 - 2x - 4}{x + 1}$.

Câu hỏi số 972107:
Vận dụng

Cho hàm số $y = f(x) = \frac{x^2 - 2x - 4}{x + 1}$.

Đúng Sai
a) Hàm số đã cho có đạo hàm trên tập xác định là $f'(x) = \frac{x^2 + 2x + 2}{(x + 1)^2}$.
b) Hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$.
c) Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số có phương trình là $y = x - 3$.
d) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là $I(1; -2)$.

Đáp án đúng là: Đ; S; Đ; S

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:972107
Phương pháp giải

Sử dụng quy tắc tính đạo hàm của phân thức: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Hàm số đồng biến khi đạo hàm mang dấu dương trên các khoảng xác định. Lưu ý cách kết luận khoảng đơn điệu theo chuẩn chương trình mới.

Chia tử số cho mẫu số để đưa hàm số về dạng $y = ax + b + \frac{c}{dx + e}$. Khi đó đường thẳng $y = ax + b$ là tiệm cận xiên, đường thẳng $x = -\frac{e}{d}$ là tiệm cận đứng.

Giao điểm của đường tiệm cận đứng và tiệm cận xiên là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

Giải chi tiết

Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$.

a) Ta có đạo hàm:

$f'(x) = \frac{(2x - 2)(x + 1) - (x^2 - 2x - 4) \cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{2x^2 + 2x - 2x - 2 - x^2 + 2x + 4}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x + 2}{(x + 1)^2}$.

Vậy mệnh đề a đúng.

b) Từ câu a, ta có $f'(x) = \frac{x^2 + 2x + 2}{(x + 1)^2} = \frac{(x + 1)^2 + 1}{(x + 1)^2} > 0$ với mọi $x \neq -1$.

Suy ra hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty; -1)$ và $(-1; +\infty)$.

Không được phép kết luận hàm số đồng biến trên $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$ hay $(-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

Vậy mệnh đề b sai.

c) Ta biến đổi hàm số:

$y = \frac{x^2 - 2x - 4}{x + 1} = \frac{x(x + 1) - 3(x + 1) - 1}{x + 1} = x - 3 - \frac{1}{x + 1}$.

Vì $\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (x - 3)] = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{-1}{x + 1} = 0$, nên đường thẳng $y = x - 3$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Vậy mệnh đề c đúng.

d) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = -1$ và tiệm cận xiên là $y = x - 3$.

Tâm đối xứng I của đồ thị hàm số là giao điểm của hai đường tiệm cận này.

Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ:

$\begin{cases} x = -1 \\ y = x - 3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = -1 \\ y = -4 \end{cases}$

Do đó, tâm đối xứng của đồ thị hàm số là $I(-1; -4)$.

Vậy mệnh đề d sai.

Đáp án cần chọn là: Đ; S; Đ; S

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn