Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, xét đường thẳng $(\Delta)$ đi qua điểm $M(3;1;1)$, nằm

Câu hỏi số 972110:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, xét đường thẳng $(\Delta)$ đi qua điểm $M(3;1;1)$, nằm trong mặt phẳng $(\alpha):x+y-z-3=0$. Khi $(\Delta)$ tạo với đường thẳng $(d):\begin{cases}x=1\\y=4+3t\\z=-3-2t\end{cases}$ một góc nhỏ nhất thì đường thẳng $(\Delta)$ có một vectơ chỉ phương là $\vec{u}_{\Delta}=(5;b;c)$. Giá trị của $b+c$ bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:972110

Phương pháp giải

Vì đường thẳng $(\Delta)$ nằm trong mặt phẳng $(\alpha)$ nên vectơ chỉ phương của $(\Delta)$ vuông góc với vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$. Từ đó thiết lập phương trình liên hệ giữa $b$ và $c$.

Sử dụng công thức tính côsin góc giữa hai đường thẳng $(\Delta)$ và $(d)$.

Lập luận: Góc giữa hai đường thẳng đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi côsin của góc đó đạt giá trị lớn nhất.

Đưa về bài toán khảo sát hàm số để tìm giá trị lớn nhất, từ đó suy ra $b, c$.

Giải chi tiết

Mặt phẳng $(\alpha)$ có vectơ pháp tuyến là $\vec{n}_{\alpha}=(1;1;-1)$.

Đường thẳng $(d)$ có vectơ chỉ phương là $\vec{u}_{d}=(0;3;-2)$.

Vì đường thẳng $(\Delta)$ nằm trong mặt phẳng $(\alpha)$ nên $\vec{u}_{\Delta} \perp \vec{n}_{\alpha} \Leftrightarrow \vec{u}_{\Delta} \cdot \vec{n}_{\alpha} = 0$.

Suy ra: $5 \cdot 1 + b \cdot 1 + c \cdot (-1) = 0 \Leftrightarrow c = b + 5$.

Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng $(\Delta)$ và $(d)$ (điều kiện $0^\circ \le \varphi \le 90^\circ$). Ta có:

$\cos \varphi = \dfrac{|\vec{u}_{\Delta} \cdot \vec{u}_{d}|}{|\vec{u}_{\Delta}| \cdot |\vec{u}_{d}|} = \dfrac{|5 \cdot 0 + b \cdot 3 + c \cdot (-2)|}{\sqrt{5^2+b^2+c^2} \cdot \sqrt{0^2+3^2+(-2)^2}} = \dfrac{|3b-2c|}{\sqrt{13}\sqrt{25+b^2+c^2}}$.

Thay $c = b+5$ vào biểu thức trên, ta được:

$\cos \varphi = \dfrac{|3b - 2(b+5)|}{\sqrt{13}\sqrt{25+b^2+(b+5)^2}} = \dfrac{|b-10|}{\sqrt{13}\sqrt{2b^2+10b+50}}$.

Để góc $\varphi$ nhỏ nhất thì $\cos \varphi$ phải đạt giá trị lớn nhất. Do $\cos \varphi \ge 0$, điều này tương đương với hàm số $f(b) = \dfrac{(b-10)^2}{2b^2+10b+50}$ đạt giá trị lớn nhất.

Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$. Đạo hàm của hàm số:

$f'(b) = \dfrac{2(b-10)(2b^2+10b+50) - (b-10)^2(4b+10)}{(2b^2+10b+50)^2} = \dfrac{(b-10)(50b+200)}{(2b^2+10b+50)^2}$.

Giải phương trình $f'(b) = 0 \Leftrightarrow (b-10)(50b+200) = 0 \Leftrightarrow b = 10$ hoặc $b = -4$.

Ta tính các giá trị:

Tại $b = 10 \Rightarrow f(10) = 0$.

Tại $b = -4 \Rightarrow f(-4) = \dfrac{(-4-10)^2}{2(-4)^2+10(-4)+50} = \dfrac{196}{42} = \dfrac{14}{3}$.

Giới hạn $\lim_{b \to \pm \infty} f(b) = \dfrac{1}{2}$.

Từ đó suy ra hàm số $f(b)$ đạt giá trị lớn nhất bằng $\dfrac{14}{3}$ khi $b = -4$.

Với $b = -4$, ta tính được $c = -4 + 5 = 1$.

Vậy đường thẳng $(\Delta)$ có vectơ chỉ phương là $\vec{u}_{\Delta}=(5;-4;1)$.

Giá trị cần tìm là $b+c = -4 + 1 = -3$.

Đáp án cần điền là: -3

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.