Một xưởng gia công đồ mỹ nghệ dự định sản xuất không quá 150 sản phẩm trong mỗi tháng.

Câu hỏi số 972111:

Vận dụng

Một xưởng gia công đồ mỹ nghệ dự định sản xuất không quá 150 sản phẩm trong mỗi tháng. Chi phí sản xuất $x$ sản phẩm ($x \in \mathbb{N}; 1 \le x \le 150$) được cho bởi hàm số $C(x) = 5000 + 800x - 3,6x^2 + 0,004x^3$ (nghìn đồng). Giá bán của mỗi sản phẩm là một hàm số phụ thuộc vào số lượng $x$ sản phẩm và được cho bởi công thức $p(x) = 2000 - 9x$ (nghìn đồng). Biết rằng sản phẩm sản xuất ra được tiêu thụ hết. Lợi nhuận lớn nhất mỗi tháng mà xưởng thu được là bao nhiêu triệu đồng?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:972111

Phương pháp giải

Lập hàm số biểu diễn doanh thu $R(x) = x \cdot p(x)$.

Lập hàm số biểu diễn lợi nhuận $L(x) = R(x) - C(x)$.

Khảo sát hàm số $L(x)$ trên đoạn $[1; 150]$ để tìm giá trị lớn nhất, chú ý điều kiện biến số $x$ là số tự nhiên.

Giải chi tiết

Doanh thu của xưởng từ việc bán $x$ sản phẩm là:

$R(x) = x \cdot p(x) = x(2000 - 9x) = 2000x - 9x^2$ (nghìn đồng).

Hàm lợi nhuận của xưởng thu được trong mỗi tháng là:

$L(x) = R(x) - C(x)$

$L(x) = (2000x - 9x^2) - (5000 + 800x - 3,6x^2 + 0,004x^3)$

$L(x) = -0,004x^3 - 5,4x^2 + 1200x - 5000$ (nghìn đồng), với $x \in \mathbb{N}, 1 \le x \le 150$.

Xét hàm số $f(x) = -0,004x^3 - 5,4x^2 + 1200x - 5000$ trên đoạn $[1; 150]$.

Đạo hàm: $f'(x) = -0,012x^2 - 10,8x + 1200$.

Cho $f'(x) = 0 \Leftrightarrow -0,012x^2 - 10,8x + 1200 = 0$

$\Leftrightarrow x^2 + 900x - 100000 = 0$

$\Leftrightarrow x = 100$ (thỏa mãn điều kiện) hoặc $x = -1000$ (loại vì $x \notin [1; 150]$).

Tính các giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị:

$f(1) = -0,004 \cdot 1^3 - 5,4 \cdot 1^2 + 1200 \cdot 1 - 5000 = -3805,404$

$f(100) = -0,004 \cdot 100^3 - 5,4 \cdot 100^2 + 1200 \cdot 100 - 5000 = 57000$

$f(150) = -0,004 \cdot 150^3 - 5,4 \cdot 150^2 + 1200 \cdot 150 - 5000 = 40000$

So sánh các giá trị, ta thấy $\max_{[1; 150]} f(x) = f(100) = 57000$.

Do $x = 100 \in \mathbb{N}$ nên lợi nhuận lớn nhất mỗi tháng mà xưởng thu được là $57000$ nghìn đồng, tương đương với $57$ triệu đồng.

Đáp án cần điền là: 57

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.