Gọi $X$ là tập hợp gồm các số tự nhiên có 7 chữ số đôi một khác nhau. Lấy ngẫu nhiên

Câu hỏi số 972113:

Vận dụng

Gọi $X$ là tập hợp gồm các số tự nhiên có 7 chữ số đôi một khác nhau. Lấy ngẫu nhiên một số từ tập $X$. Xác suất để lấy được một số chẵn chứa các chữ số 2, 3, 4 sao cho chữ số 2 đứng trước chữ số 3 và chữ số 3 đứng trước chữ số 4 là $\dfrac{a}{b}$ (trong đó $a,b$ là hai số nguyên dương, $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản). Giá trị $a+b$ bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:972113

Phương pháp giải

Tính số phần tử của không gian mẫu $n(\Omega)$ (số cách lập số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau).

Gọi $A$ là biến cố cần tính xác suất. Do yêu cầu là số chẵn, ta chia các trường hợp dựa vào chữ số tận cùng. Với mỗi trường hợp, ta sử dụng tổ hợp để xếp vị trí cho các chữ số 2, 3, 4 và chỉnh hợp để xếp các chữ số còn lại. Nhớ trừ đi các trường hợp chữ số 0 đứng ở vị trí đầu tiên.

Tính xác suất $P(A) = \dfrac{n(A)}{n(\Omega)}$.

Giải chi tiết

Bước 1: Tính số phần tử của không gian mẫu.

Gọi số tự nhiên có 7 chữ số đôi một khác nhau là $\overline{a_1a_2a_3a_4a_5a_6a_7}$.

Chữ số $a_1 \neq 0$ nên có 9 cách chọn.

6 chữ số còn lại được chọn và xếp vào 6 vị trí từ 9 chữ số còn lại, có $A_9^6$ cách.

Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega) = 9 \times A_9^6 = 544320$.

Bước 2: Đếm số kết quả thuận lợi cho biến cố $A$: "Lấy được một số chẵn chứa các chữ số 2, 3, 4 sao cho chữ số 2 đứng trước chữ số 3 và chữ số 3 đứng trước chữ số 4".

Vì số được lấy là số chẵn nên $a_7 \in \{0, 2, 4, 6, 8\}$.

Do số này phải chứa 2, 3, 4 theo thứ tự 2 trước 3, 3 trước 4 nên $a_7$ không thể bằng 2 hoặc 3 (nếu $a_7 = 2$ hoặc $3$ thì không còn vị trí ở sau để xếp các số 3, 4).

Vậy $a_7 \in \{0, 4, 6, 8\}$. Ta xét 3 trường hợp:

Trường hợp 1: $a_7 = 0$.

Chọn 3 vị trí trong 6 vị trí còn lại (từ $a_1$ đến $a_6$) để xếp các chữ số 2, 3, 4. Vì thứ tự đã cố định (2, 3, 4) nên chỉ có $C_6^3 = 20$ cách xếp.

Chọn 3 chữ số từ 6 chữ số còn lại $\{1, 5, 6, 7, 8, 9\}$ xếp vào 3 vị trí trống: có $A_6^3 = 120$ cách.

$\Rightarrow$ Có $1 \times 20 \times 120 = 2400$ số.

Trường hợp 2: $a_7 = 4$.

Lúc này chữ số 4 đã ở cuối cùng, nên 2 và 3 chỉ cần xếp vào các vị trí phía trước là tự động thỏa mãn điều kiện thứ tự.

Xếp chữ số 2 và 3 vào 6 vị trí còn lại (cố định thứ tự 2 trước 3): có $C_6^2 = 15$ cách.

Chọn 4 chữ số từ 7 chữ số $\{0, 1, 5, 6, 7, 8, 9\}$ xếp vào 4 vị trí trống: có $A_7^4 = 840$ cách.

Tổng số cách xếp (bao gồm cả trường hợp $a_1 = 0$) là: $15 \times 840 = 12600$.

Xé bỏ các trường hợp $a_1 = 0$:

$a_1 = 0$, $a_7 = 4$.

Xếp chữ số 2 và 3 vào 5 vị trí còn lại: có $C_5^2 = 10$ cách.

Chọn 3 chữ số từ 6 chữ số $\{1, 5, 6, 7, 8, 9\}$ xếp vào 3 vị trí trống: có $A_6^3 = 120$ cách.

$\Rightarrow$ Số trường hợp vi phạm là: $10 \times 120 = 1200$.

$\Rightarrow$ Có $12600 - 1200 = 11400$ số thỏa mãn.

Trường hợp 3: $a_7 \in \{6, 8\}$ (có 2 cách chọn).

Xếp các chữ số 2, 3, 4 vào 6 vị trí còn lại (cố định thứ tự): có $C_6^3 = 20$ cách.

Chọn 3 chữ số từ 6 chữ số còn lại (bỏ 2, 3, 4 và $a_7$) xếp vào 3 vị trí trống: có $A_6^3 = 120$ cách.

Tổng số cách xếp (bao gồm cả trường hợp $a_1 = 0$) là: $2 \times 20 \times 120 = 4800$.

Xé bỏ các trường hợp $a_1 = 0$:

$a_1 = 0$, $a_7 \in \{6, 8\}$ (2 cách).

Xếp chữ số 2, 3, 4 vào 5 vị trí còn lại: có $C_5^3 = 10$ cách.

Chọn 2 chữ số từ 5 chữ số còn lại xếp vào 2 vị trí trống: có $A_5^2 = 20$ cách.

$\Rightarrow$ Số trường hợp vi phạm là: $2 \times 10 \times 20 = 400$.

$\Rightarrow$ Có $4800 - 400 = 4400$ số thỏa mãn.

Tổng số kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ là: $n(A) = 2400 + 11400 + 4400 = 18200$.

Bước 3: Tính xác suất.

$P(A) = \dfrac{n(A)}{n(\Omega)} = \dfrac{18200}{544320} = \dfrac{65}{1944}$.

Vì $\dfrac{65}{1944}$ là phân số tối giản nên $a = 65, b = 1944$.

Giá trị cần tìm: $a + b = 65 + 1944 = 2009$.

Đáp án cần điền là: 2009

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.