Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB của đường
Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB của đường tròn (O) với A và B là các tiếp điểm.
1. Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn.
2. Kẻ đường kính AC của đường tròn (O). Gọi D là giao điểm của đường thẳng MC với đường tròn (O) (D khác C). Chứng minh rằng $MA^{2} = MC.MD$.
3. Gọi H là giao điểm của đường thẳng OM và đường thẳng AB, F là trung điểm của đoạn thẳng MH. Chứng minh rằng ba điểm B, D, F thẳng hàng.
Quảng cáo
1. Chứng minh tổng hai góc đối bằng $180^{{^\circ}}$.
2. Sử dụng tam giác đồng dạng $\left. \bigtriangleup MAD \right.\sim \bigtriangleup MCA$ (g.g).
3. Chứng minh $BC \parallel OM$ và sử dụng tính chất của hàng điểm điều hòa hoặc các hệ thức về tỉ số đoạn thẳng dựa trên tính chất tiếp tuyến và tương ứng đồng dạng.
1. Vì MA là tiếp tuyến của (O) nên $\angle MAO = 90^{{^\circ}}$ nên $\Delta MAO$ vuông tại A.
Do đó M, A, O cùng thuộc đường tròn đường kính MO (1)
Tương tự M, B, O cũng thuộc đường tròn đường kính MO (2)
Từ (1), (2) ta được M, A, O, B cùng thuộc đường tròn đường kính MO
hay MAOB nội tiếp (đpcm).
2. Ta có: $\angle MAD + \angle DAC = 90^{{^\circ}}$
$\angle ACD + \angle DAC = 90^{{^\circ}}$
Suy ra $\angle MAD = \angle DCA$
Xét $\Delta MAD$ và $\Delta MCA$ có
$\angle AMC$ chung
$\angle MAD = \angle DCA$ (cmt)
Do đó $\Delta MAD \backsim \Delta MCA$ (g.g)
Suy ra $\dfrac{MA}{MC} = \dfrac{MD}{MA}$ hay $MA^{2} = MC.MD$ (đpcm)
3. Gọi F' là giao điểm BD và MH.
Vì $OM\bot AB$, $BC\bot AB$ nên $OM//BC$
Suy ra $\angle OMC = \angle MCB$ (1)
Theo câu 2 ta có $MA^{2} = MC.MD$
mà $MA = MB$ nên $MB^{2} = MC.MD$ hay $\dfrac{MB}{MC} = \dfrac{MD}{MB}$
Mặt khác $\angle BMC$ là góc chung nên $\Delta MBD \backsim \Delta MCB$ (c.g.c)
Do đó $\angle MBD = \angle MCB$ (2)
Từ (1), (2) ta được $\angle MBD = \angle OMC$ hay $\angle F'BM = \angle F'MD$
Từ đây ta suy ra $\Delta F'MD \backsim \Delta F'BM$ (g.g)
Do đó $\dfrac{F'M}{F'B} = \dfrac{F'D}{F'M}$ hay $F'M^{2} = F'B.F'D$ (*)
Xét $\Delta MAH$ và $\Delta MOA$ có
$\angle AMO$ chung
$\angle MHA = \angle MAO = 90^{{^\circ}}$
Do đó $\Delta MAH \backsim \Delta MOA$ (g.g)
Suy ra $\dfrac{MA}{MO} = \dfrac{MH}{MA}$ hay $MA^{2} = MH.MO$
Kết hợp với $MA^{2} = MC.MD$ ta được $MH.MO = MC.MD$hay $\dfrac{MH}{MC} = \dfrac{MD}{MO}$
Do đó $\Delta MHD \backsim \Delta MCO$ (c.g.c)
Suy ra $\angle MHD = \angle MCO = \angle ABD$hay $\angle F'HD = \angle F'BH$
Kết hợp với $\angle HF'B$ chung ta được $\Delta F'HD \backsim \Delta F'BH$ (g.g)
Suy ra $\dfrac{F'H}{F'B} = \dfrac{F'D}{F'H}$ hay $F'H^{2} = F'B.F'D$ (**)
Kết hợp (*) và (**) ta được $F'H = F'M$
Suy ra F' là trung điểm của MH
Như vậy $F' \equiv F$ hay B, D, F thẳng hàng.
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
