Cho một đa giác đều 24 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh trên đa giác

Câu hỏi số 973843:

Vận dụng

$\dfrac{27}{253}$ $\dfrac{1}{253}$ $\dfrac{2}{251}$ $\dfrac{5}{253}$ $\dfrac{25}{253}$

Cho một đa giác đều 24 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh trên đa giác trên

➢ Xác xuất chọn được tam giác vuông mà không có cạnh nào trùng cạnh của đa giác là .

➢ Xác xuất chọn được tam giác đều là .

Đáp án đúng là: $\dfrac{27}{253}$; $\dfrac{1}{253}$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:973843

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tổ hợp và xác suất cổ điển.

Tìm số phần tử của không gian mẫu khi chọn 3 đỉnh bất kỳ.

Tìm số tam giác vuông tạo thành (dựa vào đường kính) và trừ đi số tam giác vuông có chứa cạnh của đa giác.

Tìm số tam giác đều nội tiếp đa giác (dựa vào tính đối xứng của đa giác).

Giải chi tiết

Số phần tử của không gian mẫu (số cách chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh từ 24 đỉnh) là: $n(\Omega) = C_{24}^{3} = 2024$.

Ý thứ nhất: Tính xác suất chọn được tam giác vuông không trùng cạnh nào của đa giác.

Gọi A là biến cố: "tam giác được chọn là tam giác vuông mà không có cạnh nào trùng cạnh của đa giác".

Một tam giác nội tiếp đường tròn ngoại tiếp đa giác đều là tam giác vuông khi và chỉ khi nó có một cạnh là đường kính của đường tròn đó.

Đa giác có 24 đỉnh nên có 12 đường kính.

Chọn 1 đường kính làm 1 cạnh của tam giác vuông: có 12 cách.

Chọn 1 đỉnh còn lại từ 22 đỉnh chưa chọn: có 22 cách.

Vậy tổng số tam giác vuông tạo thành là: $12 \times 22 = 264$ tam giác.

Tiếp theo, ta tìm số tam giác vuông có chứa cạnh của đa giác.

Vì góc của đa giác đều 24 đỉnh là $165^{{^\circ}} \neq 90^{{^\circ}}$ nên không có tam giác vuông nào chứa 2 cạnh của đa giác. Ta chỉ xét tam giác vuông chứa đúng 1 cạnh của đa giác.

Để tam giác vuông chứa 1 cạnh của đa giác, đỉnh thứ ba được chọn phải kề với 1 trong 2 đầu mút của đường kính (mỗi đầu mút có 2 đỉnh kề). Vậy mỗi đường kính tạo ra 4 tam giác vuông chứa cạnh đa giác.

Số tam giác vuông chứa cạnh của đa giác là: $12 \times 4 = 48$ tam giác.

Số tam giác vuông thỏa mãn biến cố A là: $n(A) = 264 - 48 = 216$.

Xác suất là: $P(A) = \dfrac{216}{2024} = \dfrac{27}{253}$.

Ý thứ hai: Tính xác suất chọn được tam giác đều.

Gọi B là biến cố: "tam giác được chọn là tam giác đều".

Các đỉnh của một tam giác đều nội tiếp sẽ chia 24 đỉnh của đa giác thành 3 phần bằng nhau, mỗi phần có khoảng cách là $24:3 = 8$ cạnh.

Có tất cả 8 tam giác đều như vậy.

Số phần tử của biến cố B là: $n(B) = 8$.

Xác suất là: $P(B) = \dfrac{8}{2024} = \dfrac{1}{253}$.

Đáp án: $\dfrac{27}{253}$; $\dfrac{1}{253}$

Đáp án cần chọn là: $\dfrac{27}{253}$; $\dfrac{1}{253}$

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.