Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $xf'(x) - f(x) = 2x^{2} + 3x^{3}\,\,\,\forall x \in D$ và $f(1) = \dfrac{7}{2}$. Giá

Câu hỏi số 973851:

Vận dụng

Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $xf'(x) - f(x) = 2x^{2} + 3x^{3}\,\,\,\forall x \in D$ và $f(1) = \dfrac{7}{2}$. Giá trị của $f'(4)$ là bao nhiêu?

A. 512

B. 32

C. 88

D. 128

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:973851

Phương pháp giải

Chia cả hai vế của phương trình cho $x^{2}$ để xuất hiện dạng đạo hàm của một thương $\left( \dfrac{f(x)}{x} \right)'$.

Lấy nguyên hàm hai vế để tìm biểu thức của hàm số $\dfrac{f(x)}{x}$, từ đó suy ra $f(x)$ và tính $f'(x)$.

Giải chi tiết

Từ giả thiết $xf'(x) - f(x) = 2x^{2} + 3x^{3}$, ta chia cả hai vế cho $x^{2}$ (với $x \neq 0$), ta được:

$\dfrac{xf'(x) - f(x)}{x^{2}} = 2 + 3x$

$\left. \Leftrightarrow\left( \dfrac{f(x)}{x} \right)' = 2 + 3x \right.$

Lấy nguyên hàm hai vế theo biến $x$, ta có:

$\dfrac{f(x)}{x} = {\int{(2 + 3x)}}dx = 2x + \dfrac{3}{2}x^{2} + C$

Theo giả thiết $f(1) = \dfrac{7}{2}$, thay $x = 1$ vào phương trình trên:

$\dfrac{f(1)}{1} = 2(1) + \dfrac{3}{2}{(1)}^{2} + C$

$\left. \Leftrightarrow\dfrac{7}{2} = 2 + \dfrac{3}{2} + C \right.$

$\left. \Leftrightarrow\dfrac{7}{2} = \dfrac{7}{2} + C\Leftrightarrow C = 0 \right.$

Do đó, hàm số có dạng: $\left. \dfrac{f(x)}{x} = 2x + \dfrac{3}{2}x^{2}\Rightarrow f(x) = 2x^{2} + \dfrac{3}{2}x^{3} \right.$.

Đạo hàm của hàm số $f(x)$ là: $f'(x) = 4x + \dfrac{9}{2}x^{2}$

Giá trị của $f'(4)$ là: $f'(4) = 4(4) + \dfrac{9}{2}{(4)}^{2} = 16 + \dfrac{9}{2} \cdot 16 = 16 + 72 = 88$.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.