Cho phương trình $x^{2} + 3 = 2\left\lbrack {x + \cos^{2}(ax + b)} \right\rbrack$ với $a,b \in \left(

Câu hỏi số 973852:

Vận dụng

Cho phương trình $x^{2} + 3 = 2\left\lbrack {x + \cos^{2}(ax + b)} \right\rbrack$ với $a,b \in \left( {0,\dfrac{\pi}{2}} \right\rbrack$. Để phương trình này có nghiệm thì giá trị của $\dfrac{a + b}{\pi} =$ ____________.

Đáp án:

Đáp án đúng là: 1

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:973852

Phương pháp giải

Biến đổi phương trình và sử dụng phương pháp đánh giá (tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hai vế).

Chứng minh vế trái luôn lớn hơn hoặc bằng một hằng số m, vế phải luôn nhỏ hơn hoặc bằng hằng số m.

Phương trình có nghiệm khi cả hai vế đồng thời bằng m.

Giải chi tiết

Biến đổi phương trình đã cho:

$x^{2} + 3 = 2x + 2\cos^{2}(ax + b)$

$\left. \Leftrightarrow x^{2} - 2x + 3 = 2\cos^{2}(ax + b) \right.$

$\left. \Leftrightarrow{(x - 1)}^{2} + 2 = 2\cos^{2}(ax + b) \right.$

Ta tiến hành đánh giá hai vế của phương trình:

Vế trái (VT): Vì ${(x - 1)}^{2} \geq 0\mspace{6mu}\forall x$ nên $VT = {(x - 1)}^{2} + 2 \geq 2\mspace{6mu}\forall x$.

Dấu "=" xảy ra khi $x = 1$.

Vế phải (VP): Vì $0 \leq \cos^{2}(ax + b) \leq 1\mspace{6mu}\forall x$ nên $VP = 2\cos^{2}(ax + b) \leq 2\mspace{6mu}\forall x$.

Dấu "=" xảy ra khi $\cos^{2}(ax + b) = 1$.

Để phương trình có nghiệm thì $\left. VT = VP\Leftrightarrow VT = 2 \right.$ và $VP = 2$.

Hệ điều kiện này tương đương với: $\left\{ \begin{array}{l} {x = 1} \\ {\cos^{2}(ax + b) = 1} \end{array} \right.$

Thay $x = 1$ vào phương trình thứ hai, ta được:

$\left. \cos^{2}(a + b) = 1\Leftrightarrow\sin^{2}(a + b) = 0\Leftrightarrow\sin(a + b) = 0 \right.$

$\left. \Rightarrow a + b = k\pi \right.$ ($k \in {\mathbb{Z}}$).

Theo giả thiết, $a,b \in \left( {0;\dfrac{\pi}{2}} \right\rbrack$, suy ra: $0 < a \leq \dfrac{\pi}{2}$ và $0 < b \leq \dfrac{\pi}{2}$

Cộng vế theo vế, ta được khoảng giá trị của tổng $a + b$ là $0 < a + b \leq \pi$.

Kết hợp với điều kiện $a + b = k\pi$ ($k \in {\mathbb{Z}}$), giá trị nguyên duy nhất của $k$ thỏa mãn là $k = 1$.

Vậy $a + b = \pi$.

Khi đó, giá trị của biểu thức cần tìm là $\dfrac{a + b}{\pi} = \dfrac{\pi}{\pi} = 1$.

Đáp án cần điền là: 1

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.