Cho $P = \left( {1 + \dfrac{1}{\cos 2x}} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{\cos 4x}} \right)\ldots\left( {1 + \dfrac{1}{\cos

Câu hỏi số 973859:

Vận dụng

Cho $P = \left( {1 + \dfrac{1}{\cos 2x}} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{\cos 4x}} \right)\ldots\left( {1 + \dfrac{1}{\cos 2^{n}x}} \right)$. Biểu thức $P$ tương đương với hàm nào sau đây?

A. $P = \tan 2^{n}x \cdot \cot x$

B. $P = \tan 2^{n}x \cdot \tan x$

C. $P = \tan 2^{n + 1}x \cdot \cot x$

D. $P = \tan 2^{n + 1}x \cdot \tan x$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:973859

Phương pháp giải

Sử dụng các công thức lượng giác cơ bản và công thức nhân đôi để biến đổi thành phần $1 + \dfrac{1}{\cos 2a}$, từ đó rút gọn biểu thức P.

Giải chi tiết

Xét biểu thức tổng quát $1 + \dfrac{1}{\cos 2a}$, ta có $1 + \dfrac{1}{\cos 2a} = \dfrac{\cos 2a + 1}{\cos 2a}$

Áp dụng công thức nhân đôi $\cos 2a = 2\cos^{2}a - 1$, ta được $1 + \dfrac{1}{\cos 2a} = \dfrac{2\cos^{2}a}{\cos 2a}$

$= \dfrac{2\sin a\cos^{2}a}{\sin a\cos 2a} = \dfrac{(2\sin a\cos a)\cos a}{\sin a\cos 2a} = \dfrac{\sin 2a\cos a}{\cos 2a\sin a}$

$= \dfrac{\sin 2a}{\cos 2a} \cdot \dfrac{\cos a}{\sin a} = \tan 2a \cdot \cot a = \dfrac{\tan 2a}{\tan a}$

Áp dụng kết quả vừa chứng minh vào từng nhân tử của biểu thức $P$:

$1 + \dfrac{1}{\cos 2x} = \dfrac{\tan 2x}{\tan x}$

$1 + \dfrac{1}{\cos 4x} = \dfrac{\tan 4x}{\tan 2x}$

...

$1 + \dfrac{1}{\cos 2^{n}x} = \dfrac{\tan 2^{n}x}{\tan 2^{n - 1}x}$

Nhân vế theo vế các đẳng thức trên, ta được biểu thức $P$:

$P = \dfrac{\tan 2x}{\tan x} \cdot \dfrac{\tan 4x}{\tan 2x}\ldots\dfrac{\tan 2^{n}x}{\tan 2^{n - 1}x}$

Rút gọn các phần tử giống nhau ở tử và mẫu thức chéo nhau, ta còn lại:

$P = \dfrac{\tan 2^{n}x}{\tan x} = \tan 2^{n}x \cdot \cot x$

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.